Cómo calcular la integral indefinida de [matemáticas] e ^ {x ^ 2} [/ matemáticas]

Answer 1

Supongo que quiere integrar [matemáticas] e ^ {- x ^ 2} [/ matemáticas], que es una apuesta más segura, ya que conduciría a una integral convergente.

De todos modos, el truco estándar para funciones como esta es pasar por una integración bidimensional: mira

[matemáticas] \ iint e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} \, dx \, dy = \ left (\ int e ^ {- x ^ 2} \, dx \ right) \ left (\ int e ^ {-y ^ 2} \, dy \ right) = \ left (\ int e ^ {- x ^ 2} \, dx \ right) ^ 2 [/ math]

Ahora transforma la integral doble usando coordenadas polares, usando la identidad [math] \ cos ^ 2 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta = 1 [/ math].

[matemáticas] x = r \ cos \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] y = r \ sin \ theta [/ matemáticas]

Llegar

[matemáticas] \ int e ^ {- r ^ 2} r \, dr \, d \ theta [/ matemáticas]

que puedes resolver mediante sustitución. La marcha a través de 2 dimensiones le ha dado un factor adicional de [math] r [/ math] en el integrando, a expensas de tener que extraer una raíz al final (Es por eso que el resultado incluye el factor [math] \ sqrt { \ pi} [/ math] cuando se extiende al infinito).

Answer 2

Esta integral no tiene una solución que pueda expresarse en términos de funciones elementales. Sin embargo, podemos encontrar expresar la solución usando una serie infinita. Comience con la conocida serie de Maclaurin de [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas].

[matemáticas] e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n!} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {x ^ 2} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(x ^ 2) ^ n} {n!} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty } \ frac {x ^ {2n}} {n!} [/ math]

[matemáticas] \ int e ^ {x ^ 2} dx = \ int \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2n}} {n!} dx = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1) n!} + C [/ matemáticas]

Este resultado es válido para todos los valores de [math] x [/ math]. Para encontrar el valor de una integral definida con valores pequeños de x, puede tomar los primeros términos de la serie y eso le dará una buena aproximación.

Answer 3

¡Sí, por supuesto!

Dado que la función [math] f [/ math] definida por [math] f (t) = e ^ {t ^ 2} [/ math] donde [math] t \ in \ mathbb {R} [/ math] es continua en su dominio, es Riemann integrable en cada intervalo [math] [c, x] [/ math] donde [math] c \ in \ mathbb {R} \ quad x \ in \ mathbb {R} [/ math].

Defina una función [matemática] P [/ matemática] de la siguiente manera:

[matemáticas] P (x) = \ displaystyle \ int_c ^ xe ^ {t ^ 2} dt [/ matemáticas].

Por primer teorema fundamental del cálculo [matemática] P ^ {\ prime} (x) = e ^ {x ^ 2} [/ matemática]

Por lo tanto, [math] P (x) [/ math] es una primitiva (anti-derivada) de [math] e ^ {x ^ 2} [/ math]. Dado que todas las primitivas de [math] e ^ {x ^ 2} [/ math] difieren en una constante, la primitiva general de [math] e ^ {x ^ 2} [/ math] es [math] P (x) + C [/ math] donde [math] C [/ math] Es una constante.

Usando la notación para primitivas podemos escribir [matemáticas] \ int e ^ {x ^ 2} dx = P (x) + C [/ matemáticas].

Answer 4

Supongo que sabes sobre integrales dobles y Variables cambiantes durante la integración usando Jacobian.

Deje que [math] I = \ displaystyle \ int e ^ {x ^ 2} \, \ mathrm dx [/ math]

[matemáticas] I ^ 2 = \ displaystyle \ int e ^ {x ^ 2} \, \ mathrm dx \ displaystyle \ int e ^ {x ^ 2} \, \ mathrm dx [/ math]

[matemáticas] I ^ 2 = \ displaystyle \ iint e ^ {x ^ 2} \ cdot e ^ {x ^ 2} \ mathrm dx \ mathrm dx [/ math]

Y al reemplazar x con otras variables ficticias u y v para evitar confusiones al integrar

[matemáticas] I ^ 2 = \ displaystyle \ iint e ^ {u ^ 2} \ cdot e ^ {v ^ 2} \ mathrm du \ mathrm dv [/ math]

[matemáticas] I ^ 2 = \ displaystyle \ iint e ^ {(u ^ 2) + (v ^ 2)} \ mathrm du \ mathrm dv [/ math]

Este es un tipo de doble integración general.

Dejar

[matemáticas] u = r \ cos \ Theta [/ matemáticas]

[matemáticas] v = r \ sin \ Theta [/ matemáticas]

[matemáticas] u ^ 2 + v ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

El jacobiano para la transformación polar es r

[matemáticas] \ implica [/ matemáticas] [matemáticas] I ^ 2 = \ displaystyle \ iint e ^ {r ^ 2} \ cdot r \ mathrm dr \ mathrm d \ Theta [/ math]

A partir de aquí, su integración doble es la siguiente:

Deje [matemáticas] r ^ 2 = t [/ matemáticas]

[math] r \ cdot \ mathrm dr = \ dfrac {\ mathrm dt} {2} [/ math]

[matemáticas] \ implica [/ matemáticas] [matemáticas] I ^ 2 = \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ iint e ^ {t} \ cdot \ mathrm dt \ mathrm d \ Theta [/ math]

[matemáticas] I ^ 2 = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ displaystyle \ int e ^ {t} \, \ mathrm dt \ displaystyle \ int \, \ mathrm d \ Theta [/ math]

A partir de aquí, dependiendo de los límites de integración, puede integrar la expresión anterior después de modificar los límites en consecuencia para el sistema Variable modificado.

Espero que te ayude.

Answer 5

Una integral indefinida es una función, o más precisamente una familia de funciones que difieren en una constante. Calcular una integral indefinida significa identificar esa función, y el problema es que no tenemos un nombre para la mayoría de las funciones .

Ciertamente existe una función cuya derivada es [math] e ^ {x ^ 2} [/ math]. Es bonito y suave. Podemos hacerlo concreto eligiendo su valor en 0 para que sea, digamos, 0. Entonces podemos calcular cualquiera de sus valores en cualquier punto numéricamente. Podemos determinar su expansión de la serie Taylor en cualquier punto, podemos hacer todo tipo de cosas con él.

(tramas de Wolfram Alpha)

Pero una cosa que no podemos hacer es expresarlo como una combinación de funciones trigonométricas, funciones exponenciales, logaritmos, fracciones, etc. Las funciones que se pueden escribir se llaman “elementales” y la antiderivada de [matemáticas] e ^ {x ^ 2} [/ math] no es elemental, desafortunadamente.

Tomar la derivada de una función tiene una característica peculiar: si la función es elemental, también lo es su derivada. Si una función se puede escribir usando estos bloques de construcción estándar, la derivada también se puede escribir con esos bloques de construcción. Sin embargo, esto es una especie de casualidad. Muchos otros operadores importantes (cosas que toman una función como entrada y devuelven una función como salida) no son tan considerados, y la integral indefinida es típica. De hecho, “la mayoría” de las funciones elementales son la derivada de una función no elemental. Así es la vida.

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Por supuesto, no hay nada que nos impida inventar una nueva función denominada “estándar”, definida como la antiderivada de [math] e ^ {x ^ 2} [/ math], y ampliar nuestro arsenal de funciones elementales. Después de todo, ¿por qué nos sentimos tan cómodos con [matemática] \ exp (x) [/ matemática] o [matemática] \ tan ^ {- 1} (x) [/ matemática]? Sabemos qué ecuaciones diferenciales satisfacen, podemos trazarlas, podemos calcular su valor en cualquier momento y podemos hacer todas estas cosas con nuestra nueva función:

[matemáticas] \ int e ^ {x ^ 2} dx = \ Xi (x) [/ matemáticas]

(Este extraño símbolo es la letra griega Xi, y creo que merece ser mejor conocido. La integral se define como una constante aditiva, por lo que, como se mencionó anteriormente, deberíamos ordenar que [matemáticas] \ Xi (0) = 0 [ /matemáticas]). De hecho, ya existe un nombre bastante estándar para una función estrechamente relacionada, la llamada “función de error”

[matemáticas] \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} dt = \ mbox {erf} (x) [/ matemáticas].

Sin embargo, esas funciones no se enumeran típicamente entre las funciones elementales, y obviamente el proceso de darles un nombre a tales funciones no es particularmente esclarecedor como respuesta a la pregunta “¿cómo calculo esta integral?”.

Answer 6

[matemáticas] I = \ int_ {a} ^ {b} e ^ {x ^ 2} dx [/ matemáticas]

Cambiar la variable x con y no cambia el resultado.

[matemáticas] I = \ int_ {a} ^ {b} e ^ {y ^ 2} dy [/ matemáticas]

Multiplica las integrales x e y.

[matemáticas] I ^ 2 = \ int_ {a} ^ {b} \ int_ {a} ^ {b} e ^ {x ^ 2 + y ^ 2} dx dy [/ matemáticas]

Ahora cambiamos a coordenadas cilíndricas:
[matemáticas] r = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ theta = arctan (y / x) [/ matemáticas]

Necesitamos calcular los límites de integración también. Sin embargo, lo dejo aquí porque tenemos límites arbitrarios en este momento.

[matemáticas] I ^ 2 = \ int \ int e ^ {r ^ 2} r dr d \ theta [/ matemáticas]

Después de sustituir u = r ^ 2 y las partes restantes serán fáciles.

Si la integración no está limitada, no podemos usar este método. La anti-derivada de [math] e ^ {x ^ 2} [/ math] no es una función elemental. Se define en términos de la función de error erf (x).

Answer 7

En términos de series de Taylor, [matemáticas] \ displaystyle e ^ x = \ displaystyle \ lim_ {t \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ t \ frac {x ^ n} {n!} \ Por lo tanto e ^ {2x} = \ displaystyle \ lim_ {t \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ t \ frac {x ^ {2n}} {n!} [/ Math]

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto \ int {e ^ {x ^ 2}} dx = \ lim_ {t \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ t \ int {\ frac {x ^ {2n}} {n!} dx} = \ lim_ {t \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ t \ frac {x ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)} + C [/ math ]

Tenga en cuenta que el límite y la suma son independientes de la operación de integración; la suma de una integral es igual a la integral de una suma, si eso tiene sentido, ya que ambas son operaciones técnicamente aditivas.

En caso de que no esté familiarizado con lo que es una serie de maclaurina / taylor, la serie de taylor de cualquier función es igual a T, mientras que

[matemáticas] T \ aprox \ displaystyle lim_ {t \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ t \ frac {f ^ {(n)} (xa) (xa) ^ n} {n!} [/ matemáticas]

donde x es x, a es un desplazamiento constante y (n) es el número de derivadas en la serie. Las series de Maclaurin son básicamente series de Taylor pero [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas].

Para probar que una función es igual a su equivalente de la serie Maclaurin / Taylor, debe probar que [math] \ delta [/ math], el símbolo que preferiría usar para describir errores y discrepancias en los valores de retorno dado este supuesto, se acerca cero cuando t se acerca al infinito.

Entonces: [matemáticas] f (x) = T + | \ delta | \ por lo tanto [/ math] if [math] \ delta \ to 0 [/ math] as [math] T \ to f (x) [/ math] then [math] f (x) \ approx T [/ math]

Answer 8

Se llama función de error: Función de error – Wikipedia. Sin embargo, tenga en cuenta que la derivada de la función de error es en realidad [math] \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} e ^ {- x ^ 2}. [/ math] También tenga en cuenta que la definición de función de error es básicamente una definición de cualquier función primitiva de una función continua.

Answer 9

¡Buena pregunta! De hecho, no se puede expresar en términos de funciones elementales, pero aquí está lo mejor que tenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ xe ^ {t ^ 2} \, dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} \ int_0 ^ x \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} e ^ {t ^ 2} \, dt [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} \ operatorname {erfi} (x) [/ math]

Función de error imaginario

Otra forma (en cierta forma, más engañosa) de escribir la antiderivada es usar la función Dawson:

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ xe ^ {t ^ 2} \, dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle e ^ {x ^ 2} \ cdot e ^ {- x ^ 2} \ int_0 ^ xe ^ {t ^ 2} \, dt [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle e ^ {x ^ 2} \ operatorname {D} _ + (x) [/ math]

Answer 10

Pensé que había respondido esto en el foro. Pero para repetir, no se puede hacer como una integral indefinida. Como una integral definida entre límites + \ – infinito se puede evaluar.

Exprésalo como el producto de 2 integrales

Confianza que ayuda

Answer 11

La antiderivada de [matemáticas] e ^ {x ^ 2} [/ matemáticas] es

[matemáticas] C + \ int_0 ^ xe ^ {t ^ 2} \, dt. [/ matemáticas]

Answer 12

Si y no. Bueno, sí, esta función es integrable de Riemann y puede calcular la integración definitiva en un intervalo utilizando métodos numéricos en una computadora. Puede pensar intuitivamente en trazar el gráfico de esta función en un intervalo y medir el área debajo de la curva, que de hecho se puede calcular. Pero no, no es posible obtener una expresión en forma cerrada de la anti-derivada para esta función en términos de las llamadas funciones elementales, es decir, funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, polinomiales, etc. y sus combinaciones (esto es lo que creo que usted quieren saber). Hay infinitas funciones en las que no puede encontrar una expresión de forma cerrada para la integral, pero son integrables. Tenga en cuenta que en algunos de ellos puede obtener valores exactos en un intervalo particular utilizando también el método de lápiz y papel. Por ejemplo, la función sinc. En este caso particular de e ^ x2, también se puede demostrar que no existe una integral elemental. La prueba es rigurosa e involucra la teoría de los campos diferenciales, con la que no estoy familiarizado. Me temo que es posible que no esté al tanto de suficiente álgebra para apreciarlo, ya que de lo contrario no habría hecho esta pregunta aquí en Quora en primer lugar. Lioville primero dio una prueba de la integral por la que está preguntando. Maxwell Rosenlicht extendió sus resultados y dio una prueba más simple. Los enlaces que siguen serán suficientes en caso de que esté interesado (en el creciente orden de rigor):
Página en ucr.edu
¿Cómo determinar con certeza que una función no tiene antiderivada elemental?
Página en dm.unipi.it
Página en cuny.edu

Answer 13

Gracias por el A2A!

Esta integral es igual a:

[matemáticas] \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} \ cdot \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ displaystyle \ int e ^ {x ^ 2} \, \ mathrm {d} x \ tag * {} [/ math]

Subtituando [math] x = iu \ Longleftrightarrow \ mathrm {d} x = i \, \ mathrm {d} u [/ math]:

[matemáticas] i \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} \ cdot \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ displaystyle \ int e ^ {- u ^ 2} \, \ mathrm {d } u \ tag * {} [/ math]

Esto tiene una integral especial:

[matemáticas] i \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} \ operatorname {erf} (u) + C \ tag * {} [/ matemáticas]

Esto es igual a:

[matemáticas] \ boxed {i \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} \ operatorname {erf} \ left (\ frac {x} {i} \ right) + C} \ tag * {} [/ math ]

Integral utilizado:

[matemáticas] \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ displaystyle \ int_0 ^ ue ^ {- t ^ 2} \, \ mathrm {d} t = \ operatorname {erf} (u) [/ math]

Answer 14

Como muchos han señalado, no existe una función elemental que describa la antiderivada de [math] e ^ {x ^ 2} [/ math]. Sin embargo, podemos expresar esta integral en términos de una serie infinita.

[matemáticas] \ displaystyle e ^ x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 4} {4!} + \ cdots = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n!} [/ math]

Conectando [matemática] x ^ 2 [/ matemática] en [matemática] x [/ matemática], [matemática] \ displaystyle e ^ {x ^ 2} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac { x ^ {2n}} {n!} [/ matemáticas]

Si integramos:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2n}} {n!} \, dx = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1) n!} [/ math]

Por lo tanto, [matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {x ^ 2} \, dx = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1) n !}[/matemáticas]

Answer 15

Esta es una pregunta recurrente. Pondré mi perspectiva aquí y ‘presentaré’ una función realmente valiosa, que hace el trabajo. Insisto en los valores reales , porque los números complejos, que se utilizarán en el camino, proporcionan un camino elegante. Primero, ¿cuál es una integral indefinida de una función [matemáticas] f (x) [/ matemáticas]?
Es una función, o una familia de funciones que difieren en una constante con derivada igual a [math] f [/ math]. Por lo tanto, para el problema en consideración, podemos escribir

[matemáticas] \ int e ^ {x ^ 2} \ mathrm {d} x = \ int_0 ^ xe ^ {t ^ 2} \ mathrm {d} t + C \ dotsi (*) [/ math]

¿Qué tiene de especial el cero? Nada. Uno puede elegir libremente otro límite inferior (digamos algunos [matemática] a [/ matemática]), y obtener el formulario anterior, es decir

[matemáticas] \ int_a ^ xe ^ {t ^ 2} \ mathrm {d} t = \ int_0 ^ xe ^ {t ^ 2} \ mathrm {d} t + \ int_a ^ 0e ^ {t ^ 2} \ mathrm {d } t [/ matemáticas]

Observe que [math] e ^ {t ^ 2} [/ math] está acotado en el intervalo [math] (a, 0) [/ math] para cualquier finite [math] a [/ math], por lo tanto, el segundo existen dos integrales y pueden absorberse en la constante arbitraria [matemáticas] C [/ matemáticas] en la ecuación [matemáticas] (*) [/ matemáticas]. Para continuar, dejamos que [math] t = u / i [/ math] en la ecuación [math] (*) [/ math] obteniendo

[matemáticas] \ int_0 ^ xe ^ {t ^ 2} \ mathrm {d} t = \ frac {1} {i} \ int_0 ^ {ix} e ^ {- u ^ 2} \ mathrm {d} u [/ matemáticas]

comparando la ecuación anterior con la definición de la función de error que podemos escribir

[matemáticas] \ int_0 ^ xe ^ {t ^ 2} \ mathrm {d} t = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2i} \ mathrm {erf} (ix) [/ math]

Además, observe que el resultado es una función real (usando [math] \ mathrm {erf} (\ bar {z}) = \ overline {\ mathrm {erf} (z)} [/ math]). Esto motiva la definición de la función [math] \ mathrm {erfi} (z) [/ math], llamada función de error imaginario [math] \ mathrm {erfi} (z) = – i ~ \ mathrm {erf} (iz ) [/ math], que puede usarse para expresar la integral en la ecuación [math] (*) [/ math]. Obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {x ^ 2} \ mathrm {d} x = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} \ mathrm {erfi} (x) + C [/ math]

La integral se representa a continuación para [matemáticas] C = 0, \ pm 3 [/ matemáticas]

CÓDIGO : El código MATLAB para [math] \ mathrm {erfi} (x) [/ math] se publica aquí.

PD : Una integral estrechamente relacionada se llama la integral de Dawson.

Salud !

Answer 16

[matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {x ^ {2}} \, dx [/ matemáticas]

Esta integral (función de error imaginario) no tiene una forma cerrada:

[matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {x ^ {2}} dx = \ left (\ dfrac {\ sqrt {\ pi}} {2} \ operatorname {erfi} {\ left (x \ right)} \ right )[/matemáticas]

Finalmente, agregue la constante de integración:

[matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {x ^ {2}} dx = \ dfrac {\ sqrt {\ pi}} {2} \ operatorname {erfi} {\ left (x \ right)} + C [/ math ]

Answer 17

ACTUALIZACIÓN : Joel Birch señala en los comentarios que leí mal la pregunta. Mi respuesta original, citada aquí, se refiere a [math] \ int e ^ {- x ^ 2} \, dx [/ math], mientras que la pregunta sobre [math] \ int e ^ {x ^ 2} \, dx [/matemáticas].

Hasta un factor constante, es lo que se llama la “función de error”, debido a su conexión con la distribución normal, a menudo utilizada para modelar la incertidumbre (o “error”) en las estadísticas. Si está pidiendo la integral sobre la línea real completa, es [math] \ sqrt {\ pi} [/ math].

Por supuesto,

[matemáticas] \ int e ^ {x ^ 2} \, dx = \ int e ^ {- (ix) ^ 2} \, dx, [/ matemáticas]

así que hasta un múltiplo constante esto es igual a la función de error de ix , como podemos ver haciendo la sustitución u = ix . Un nombre que a veces se usa aquí es erfi(x) , por ejemplo, en MATLAB o ciertas bibliotecas FORTRAN. (Ya sabes, como en “función de error” + “imaginario”)

Answer 18

Digamos que te refieres a [math] \ int_0 ^ s \ exp (x ^ 2) \, dx [/ math]. La integral existe, porque la función es continua. No tiene una representación de forma cerrada en términos de ‘funciones elementales’, es decir, usando seno, coseno, exponente, registro, y potencias y raíces y uniendo esos junto con composición y álgebra. Entonces nos quedamos con valores aproximados. Pero entonces, eso es todo lo que tenemos incluso si la respuesta final es [math] \ sqrt {2} [/ math].

Para valores razonablemente pequeños de s, puede usar la expansión en serie de [math] e ^ t [/ math], estableciendo [math] t = x ^ 2 [/ math] e integrando término por término. Por lo tanto, si, por ejemplo, s = 1, desea [matemáticas] \ begin {align *} & \ sum_ {k = 0} ^ N \ int_ {x = 0} ^ 1 \ frac {x ^ {2k}} {k!} \, dx \\ & = \ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {1} {(2k + 1) k!} = 1+ \ frac {1} {3} + \ frac {1 } {10} + \ frac {1} {42} + \ frac {1} {216} + \ cdots + \ frac {1} {(2N + 1) N!} \ End {align *} [/ math]. Salir con [matemáticas] N = 4 [/ matemáticas] le daría una precisión de 3 decimales; si salieras a N = 100 tendrías más de 100 lugares. Si necesita un millón de dígitos, bastará con salir a N = 200000. Para la mayoría de los propósitos, un millón de dígitos es suficiente. Tienes una respuesta

Si s es grande, se vuelve más difícil. Pero los grandes números en general son un poco molestos; No podemos esperar que esta vez sea diferente. ¿Cuál es, después de todo, el dígito medio de [matemáticas] 9 ^ {9 ^ {9 ^ {9 ^ 9}}} [/ matemáticas]? Tu suposición es mejor que la mía.

Answer 19

No existe una anti-derivada en términos de función elemental, pero puede llegar a una serie infinita de “solución”.

Recuerde la serie MacLaurin de [math] e ^ x [/ math].

[matemáticas] e ^ x = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ n} {n!} \, \ text {on} \, (- \ infty, \ infty) \ etiqueta * {(1)} [/ math]

Usando [math] (1) [/ math], podemos sustituir [math] x ^ 2 [/ math] y obtener …

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ int e ^ {x ^ 2} \, \ text {d} x & = \ displaystyle \ int \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac { x ^ {2n}} {n!} \, \ text {d} x \\\ displaystyle \ int e ^ {x ^ 2} \, \ text {d} x & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1) n!} \, \ forall \, x \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Answer 20

Esta función no tiene antiderivada en términos de funciones elementales, pero es un gran candidato para el análisis de series de potencia.