Si [math] f [/ math] es surjective, y [math] U [/ math] es un subconjunto del rango de [math] f [/ math] tal que [math] f ^ {-1} (U) = \ displaystyle \ bigcup_ {\ alpha \ in \ Lambda} A_ \ alpha [/ math], luego hace [math] U = \ displaystyle \ bigcup_ {\ alpha \ in \ Lambda} f (A_ \ alpha) [/ math] ?

Answer 1

Se nos da que

[matemática] f: X \ rightarrow Y, [/ matemática] sobrejetivo

[matemáticas] U \ subconjunto f (X) [/ matemáticas] st [matemáticas] f ^ {- 1} (U) = \ bigcup _ {\ alpha \ in \ Lambda} A _ {\ alpha} [/ matemáticas]

Lo que tenemos es que la preimagen de [matemáticas] U [/ matemáticas] se puede descomponer en una unión de diferentes piezas [matemáticas] A _ {\ alpha} [/ matemáticas]

¿Cuál es la definición de la preimagen de [matemáticas] U [/ matemáticas]? Es el conjunto de todos los puntos que se asignan en él. [matemáticas] x \ en f ^ {- 1} (U) \ Flecha derecha f (x) \ en U [/ matemáticas].

Si algo no está en la preimagen, entonces no se asigna a [math] U [/ math].

Entonces, si miramos cualquiera de esos conjuntos que es parte de [math] f ^ {- 1} (U) [/ math], es decir [math] A _ {\ alpha} [/ math] debe mapearse a algo en [matemáticas] U [/ matemáticas]. Y todo en [math] U [/ math] tenía algo de uno de esos conjuntos de mapeo.

[matemáticas] a \ en A _ {\ alpha} \ subset f ^ {- 1} (U) \ Rightarrow f (a) \ in f (A _ {\ alpha}) \ subset (U) [/ math]

Entonces, esto implica que [math] U = \ bigcup _ {\ alpha \ in \ Lambda} f (A _ {\ alpha}) [/ math]

Answer 2

Deje que [math] f: X \ to Y [/ math] sea una función surjective. Sea [math] U \ subseteq Y [/ math] tal que [math] f ^ {- 1} (U) = \ bigcup _ {\ alpha \ in \ Lambda} A _ {\ alpha} [/ math]. Luego tenemos [math] U = \ bigcup _ {\ alpha \ in \ Lambda} f (A _ {\ alpha}) [/ math]. Para demostrar que esto es cierto, es suficiente mostrar que [math] U \ subseteq \ bigcup _ {\ alpha \ in \ Lambda} f (A _ {\ alpha}) [/ math] y [math] \ bigcup _ {\ alpha \ in \ Lambda} f (A _ {\ alpha}) \ subseteq U [/ math].

• Deje [math] y \ en U [/ math]. Como [math] U \ subseteq Y [/ math] y [math] f: X \ to Y [/ math] es surjective, existe [math] x \ en X [/ math] tal que [math] f (x ) = y [/ matemáticas]. Esto implica que [math] x \ in f ^ {- 1} (U) [/ math]. Pero dado que se da que [math] f ^ {- 1} (U) = \ bigcup _ {\ alpha \ in \ Lambda} A _ {\ alpha} [/ math], tenemos [math] x \ in \ bigcup_ { \ alpha \ in \ Lambda} A _ {\ alpha} [/ math], y por lo tanto [math] x \ in A _ {\ alpha} [/ math] para algunos [math] \ alpha \ in \ Lambda [/ math]. Pero [matemáticas] f (A _ {\ alpha}) = \ {f (a): a \ en A _ {\ alpha} \} [/ matemáticas]. Como [math] x \ en A _ {\ alpha} [/ math] para algunas [math] \ alpha \ in \ Lambda [/ math], tenemos [math] f (x) \ in f (A _ {\ alpha} ) [/ math] para algunos [math] \ alpha \ in \ Lambda [/ math]. Por lo tanto, [math] f (x) \ in \ bigcup _ {\ alpha \ in \ Lambda} f (A _ {\ alpha}) [/ math]. Pero tenemos [math] f (x) = y [/ math], y por lo tanto [math] y \ in \ bigcup _ {\ alpha \ in \ Lambda} f (A _ {\ alpha}) [/ math] siempre que [math ] y \ en U [/ matemáticas]. Esto muestra que [math] U \ subseteq \ bigcup _ {\ alpha \ in \ Lambda} f (A _ {\ alpha}) [/ math].
• Supongamos, por el contrario, que [math] y \ in \ bigcup _ {\ alpha \ in \ Lambda} f (A _ {\ alpha}) [/ math]. Tenemos [math] y \ in f (A _ {\ alpha}) [/ math] para algunos [math] \ alpha \ in \ Lambda [/ math]. Por lo tanto, hay algunas [matemáticas] x \ en A _ {\ alpha} [/ matemáticas] de modo que [matemáticas] f (x) = y [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] \ alfa \ en \ Lambda [/ matemáticas] . Por lo tanto, [math] x \ in \ bigcup _ {\ alpha \ in \ Lambda} A _ {\ alpha} [/ math], y en consecuencia hay [math] x \ in f ^ {- 1} (U) [/ math ] tal que [matemáticas] f (x) = y [/ matemáticas]. Dado que [matemáticas] x \ en f ^ {- 1} (U) [/ matemáticas], y [matemáticas] f ^ {- 1} (U) = \ {a \ en X: f (a) \ en U \ } [/ math], tenemos [math] f (x) \ en U [/ math]. Pero [matemática] f (x) = y [/ matemática], y por lo tanto [matemática] y \ en U [/ matemática]. Por lo tanto, [math] \ bigcup _ {\ alpha \ in \ Lambda} f (A _ {\ alpha}) \ subseteq U [/ math].

Dado que [math] U \ subseteq \ bigcup _ {\ alpha \ in \ Lambda} f (A _ {\ alpha}) [/ math] y [math] \ bigcup _ {\ alpha \ in \ Lambda} f (A _ {\ alpha} ) \ subseteq U [/ math], podemos concluir que [math] U = \ bigcup _ {\ alpha \ in \ Lambda} f (A _ {\ alpha}) [/ math].