Deje [math] 2 \ in \ mathbb {Z} [/ math]. Sabemos que [math] \ mathbb {Z} [/ math] es un dominio integral ordenado tal que cada subconjunto no entero de enteros positivos ([math] S \ subset \ {i \ in \ mathbb {Z} \ mid i> 0 \} \ setminus \ varnothing [/ math]) tiene un elemento mínimo.
Suponga que [matemáticas] 1 + 1 \ neq 2 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] 1 + 1 = x [/ matemáticas] donde [matemáticas] x \ neq 2 [/ matemáticas]. [math] x \ leq 0 [/ math] es falso porque [math] \ mathbb {Z} [/ math] es un dominio integral ordenado, [math] a + b> 0 [/ math] donde [math] a , b \ in \ mathbb {Z}> 0 [/ math], entonces [math] x> 0 [/ math].
[matemática] 1 \ neq 0 [/ matemática] porque si [matemática] 1 = 0 [/ matemática], entonces para cualquier [matemática] y \ in \ mathbb {Z} [/ matemática], [matemática] y = 1y = 0y = 0 [/ matemáticas]. Pero [math] 2 \ in \ mathbb {Z} [/ math], una contradicción. Dado que [math] \ mathbb {Z} [/ math] forma un grupo abeliano además, [math] 1 [/ math] no puede ser un elemento de identidad porque para dos elementos de identidad [math] a [/ math] y [math] b [/ matemática], [matemática] ab = a [/ matemática] y [matemática] ab = b [/ matemática]. Por lo tanto, [math] 1 + 1 \ neq 1 [/ math] porque implicaría [math] 0 = 1 [/ math].
Esto deja [matemáticas] x> 1 [/ matemáticas]. Suponga que [matemáticas] x> 2 [/ matemáticas]. Primero tome [matemáticas] 1 + 1 = 2 + 1 [/ matemáticas]. Agregue [math] -1 [/ math] a ambos lados para obtener [math] 1 = 2 [/ math], que es falso. Podemos usar el mismo argumento para [math] 1 + 1 = 2 + 1 + 1 = 2 + (1 + 1 + \ underbrace {\ dots} _ {x – 2} + 1) [/ math] para obtener [math ] 1 = 2 + (1 + 1 + \ underbrace {\ dots} _ {x – 1} + 1) [/ math], y dado que la suma de dos enteros positivos es positiva (según el segundo párrafo), este resultado es También falso. Por lo tanto [matemáticas] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas]. Obviamente [matemáticas] 2x = 2 [/ matemáticas] y desde [matemáticas] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas], [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas].
- Si [math] f [/ math] es surjective, y [math] U [/ math] es un subconjunto del rango de [math] f [/ math] tal que [math] f ^ {-1} (U) = \ displaystyle \ bigcup_ {\ alpha \ in \ Lambda} A_ \ alpha [/ math], luego hace [math] U = \ displaystyle \ bigcup_ {\ alpha \ in \ Lambda} f (A_ \ alpha) [/ math] ?
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- ¿Se puede evaluar [matemáticas] \ int \ frac {\ cos (x)} {x (1-x ^ 2)} [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es la integral de [matemáticas] \ int \ dfrac {e ^ x-1} {e ^ x + 1} [/ matemáticas]?
Por lo tanto, [matemáticas] 2/2 = 1 [/ matemáticas].