¿Se puede evaluar [matemáticas] \ int \ frac {\ cos (x)} {x (1-x ^ 2)} [/ matemáticas]?

Answer 1

[matemáticas] I = \ int \ frac {\ cos {x}} {x} \ times \ frac {1} {1-x ^ 2} dx = [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ frac {\ cos {x}} {x} \ veces \ frac {1} {(1 + x) (1-x)} dx [/ matemáticas]

Ahora necesitamos cambiar esta fracción [math] \ frac {1} {(1 + x) (1-x)} [/ math] en algo más manejable.

[matemáticas] \ frac {1} {(1 + x) (1-x)} = \ frac {A} {1 + x} + \ frac {B} {1-x} = [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {A (1-x) + B (1 + x)} {1-x ^ 2} = [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {A + B + (BA) x} {1-x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] A + B = 1 \ tierra BA = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto A = B = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ frac {1} {(1 + x) (1-x)} = \ frac {1} {2 (1 + x)} + \ frac {1} {2 (1-x)} [/matemáticas]

Sustituyendo de nuevo a la ecuación original:

[matemáticas] I = \ int \ frac {\ cos {x}} {x} \ times \ bigg [\ frac {1} {2 (1 + x)} + \ frac {1} {2 (1-x) } \ bigg] dx = [/ math]

[matemáticas] = \ int \ frac {\ cos {x}} {x} \ times \ frac {1} {2} \ bigg [\ frac {1} {1 + x} + \ frac {1} {1- x} \ bigg] dx = [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ int \ frac {\ cos {x}} {x} \ times \ frac {1} {1 + x} dx + \ frac {1} {2} \ int \ frac {\ cos {x}} {x} \ times \ frac {1} {1-x} dx [/ math]

Aquí tenemos que volver a aplicar la descomposición de fracción parcial, por lo que lo omitiré e iré directamente a los resultados:

[matemáticas] I = \ frac {1} {2} \ Bigg [\ int \ frac {\ cos {x}} {x} dx – \ int \ frac {\ cos {x}} {1 + x} dx + \ int \ frac {\ cos {x}} {x} dx – \ int \ frac {\ cos {x}} {1-x} dx \ Bigg] = [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ Bigg [2 \ int \ frac {\ cos {x}} {x} dx – \ int \ frac {\ cos {x}} {1 + x} dx – \ int \ frac {\ cos {x}} {1-x} dx \ Bigg] = [/ math]

[matemáticas] = \ int \ frac {\ cos {x}} {x} dx – \ frac {1} {2} \ Bigg [\ int \ frac {\ cos {x}} {1 + x} dx + \ int \ frac {\ cos {x}} {1-x} dx \ Bigg] = [/ math]

[matemáticas] = \ int \ frac {\ cos {x}} {x} dx – \ frac {1} {2} \ Bigg [I_1 + I_2 \ Bigg] [/ math]

Ahora resolveré [math] I_1 [/ math] y [math] I_2 [/ math] por separado.

[matemáticas] I_1 = \ int \ frac {\ cos {x}} {x + 1} dx [/ matemáticas]

Sustituyendo [math] u = x + 1 [/ math] y [math] du = dx [/ math]

[matemáticas] I_1 = \ int \ frac {\ cos {(u-1)}} {u} du = [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ frac {\ cos {1} \ cos {u} – \ sin {-1} \ sin {u}} {u} du = [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ cos {1} \ int \ frac {\ cos {u}} {u} du + \ sin {1} \ int \ frac {\ sin {u}} {u} du = [/ matemáticas]

[matemáticas] = (\ cos {1}) Ci (u) + (\ sin {1}) Si (u) = [/ matemáticas]

[matemáticas] = (\ cos {1}) Ci (x + 1) + (\ sin {1}) Si (x + 1) = I_1 [/ matemáticas]

Aquí resolveré [math] I_2 [/ math], con sustituciones [math] w = x-1 [/ math] y [math] dw = dx [/ math]:

[matemáticas] I_2 = \ int \ frac {\ cos {x}} {1-x} dx = [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ int \ frac {\ cos {x}} {x-1} dx = [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ int \ frac {\ cos {(w + 1)}} {w} dw = [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ int \ frac {\ cos {1} \ cos {w} – \ sin {1} \ sin {w}} {w} dw = [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ frac {\ sin {1} \ sin {w} – \ cos {1} \ cos {w}} {w} dw = [/ matemáticas]

[matemáticas] = (\ sin {1}) Si (w) – (\ cos {1}) Ci (w) = [/ matemáticas]

[matemáticas] = (\ sin {1}) Si (x-1) – (\ cos {1}) Ci (x-1) = I_2 [/ matemáticas]

Sustituyendo [math] I_1 [/ math] y [math] I_2 [/ math] de vuelta a nuestra ecuación original:

[matemáticas] I = \ int \ frac {\ cos {x}} {x} dx – \ frac {1} {2} \ Bigg [(\ cos {1}) Ci (x + 1) + (\ sin { 1}) Si (x + 1) + (\ sin {1}) Si (x-1) – (\ cos {1}) Ci (x-1) \ Bigg] = [/ math]

[matemáticas] = Ci (x) + \ frac {\ cos {1}} {2} \ bigg [Ci (x-1) -Ci (x + 1) \ bigg] – \ frac {\ sin {1}} {2} \ bigg [Si (x-1) + Si (x + 1) \ bigg] [/ math]

Answer 2

Deje [math] I = \ int \ frac {\ cos (x)} {x (1 – x ^ 2)} \, dx [/ math]

Aplicando la técnica de descomposición de fracción parcial, obtenemos,

[matemáticas] I = \ int \ frac {\ cos (x)} {2x (1 – x)} \, dx + \ int \ frac {\ cos (x)} {2x (1 + x)} \, dx [/matemáticas]

Nuevamente aplicando la técnica de descomposición de fracción parcial, obtenemos,

[matemáticas] I = \ int \ frac {\ cos (x)} {2x} \, dx + \ int \ frac {\ cos (x)} {2 (1 – x)} \, dx + \ int \ frac {\ cos (x)} {2x} \, dx – \ int \ frac {\ cos (x)} {2 (1 + x)} \, dx [/ math]

[matemáticas] I = \ underbrace {\ int \ frac {\ cos (x)} {x} \, dx} _ {I_1} + \ underbrace {\ int \ frac {\ cos (x)} {2 (1 – x)} \, dx} _ {I_2} – \ underbrace {\ int \ frac {\ cos (x)} {2 (1 + x)} \, dx} _ {I_3} [/ math]

Como [matemáticas] \ cos (u) = 1 – \ frac {u ^ 2} {2!} + \ Frac {u ^ 4} {4!} – \ frac {u ^ 6} {6!} +… [ /matemáticas]

[matemáticas] = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ k \, \ frac {u ^ {2k}} {2k!} [/ matemáticas]

Y [matemáticas] \ sin (u) = u – \ frac {u ^ 3} {3!} – \ frac {u ^ 5} {5!} +… [/ Matemáticas]

[matemáticas] = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ k \, \ frac {u ^ {2k – 1}} {(2k – 1)!} [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] I_1 = \ int \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ k \, \ frac {x ^ {2k – 1}} {2k!} \, Dx [/ math ]

[matemáticas] = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ k \ int \ frac {x ^ {2k – 1}} {2k!} \, dx [/ math]

[matemáticas] = \ ln (x) + \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ k \ frac {x ^ {2k}} {2k (2k!)} [/ matemáticas]

Ahora vamos a resolver [matemáticas] I_2 [/ matemáticas], para eso

Supongamos que [matemáticas] 1 – x = y [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica -dx = dy [/ matemáticas]

Entonces, colocando los valores supuestos arriba en sustitución de [matemática] x [/ matemática] y [matemática] dx [/ matemática] en [matemática] I_2 [/ matemática], obtenemos,

[matemáticas] I_2 = – \ int \ frac {\ cos (1 – y)} {2y} \, dy [/ matemáticas]

[matemática] = – \ int \ frac {\ cos (1) \ cos (y) + \ sin (1) \ sin (y)} {2y} \, dy [/ math]

[matemáticas] = – \ int \ frac {\ cos (1) \ cos (y)} {2y} \, dy – \ int \ frac {\ sin (1) \ sin (y)} {2y} \, dy [/matemáticas]

[matemáticas] = – \ frac {\ cos (1) \ ln (y)} {2} – \ frac {\ cos (1)} {2} [\ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ k \ frac {y ^ {2k}} {2k (2k!)}] – \ frac {\ sin (1)} {2} [\ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (-1 ) ^ k \, \ frac {y ^ {2k – 1}} {(2k – 1) (2k – 1)!}] [/ math]

Reemplazando y con valores en términos de [matemáticas] x [/ matemáticas], tenemos,

[matemáticas] I_2 = – \ frac {\ cos (1) \ ln (1 – x)} {2} – \ frac {\ cos (1)} {2} [\ sum_ {k = 1} ^ {\ infty } (-1) ^ k \ frac {(1 – x) ^ {2k}} {2k (2k!)}] – \ frac {\ sin (1)} {2} [\ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ k \, \ frac {(1 – x) ^ {2k – 1}} {(2k – 1) (2k – 1)!}] [/ math]

De manera similar, resuelva [matemáticas] I_3 [/ matemáticas], obtendremos,

[matemáticas] I_3 = \ frac {\ cos (1) \ ln (1 + x)} {2} + \ frac {\ cos (1)} {2} [\ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ k \ frac {(1 + x) ^ {2k}} {2k (2k!)}] + \ Frac {\ sin (1)} {2} [\ sum_ {k = 0} ^ { \ infty} (-1) ^ k \, \ frac {(1 + x) ^ {2k – 1}} {(2k – 1) (2k – 1)!}] [/ math]

Ahora, [matemáticas] I = \ ln (x) + \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ k \ frac {x ^ {2k}} {2k (2k!)} – \ frac {\ cos (1) \ ln (1 – x)} {2} – \ frac {\ cos (1)} {2} [\ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ k \ frac {(1 – x) ^ {2k}} {2k (2k!)}] – \ frac {\ sin (1)} {2} [\ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ k \, \ frac {(1 – x) ^ {2k – 1}} {(2k – 1) (2k – 1)!}] – \ frac {\ cos (1) \ ln (1 + x)} {2} – \ frac {\ cos (1)} {2} [\ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ k \ frac {(1 + x) ^ {2k}} {2k (2k!)}] – \ frac {\ sin (1)} {2} [\ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ k \, \ frac {(1 + x) ^ { 2k – 1}} {(2k – 1) (2k – 1)!}] [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ implica I = \ ln (x) – \ frac {\ cos (1) \ ln (1 – x ^ 2)} {2} + \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} (-1 ) ^ k \ frac {x ^ {2k}} {2k (2k!)} – \ frac {\ cos (1)} {2} [\ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ k \ frac {(1 – x) ^ {2k} + (1 + x) ^ {2k}} {2k (2k!)}] – \ frac {\ sin (1)} {2} [\ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ k \, \ frac {(1 – x) ^ {2k – 1} + (1 + x) ^ {2k – 1}} {(2k – 1) ( 2k – 1)!}] [/ Matemáticas]

Simplifícalo aún más si puedes.