Cómo obtener [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ displaystyle \ sum_ {j = 1} ^ {\ infty} \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {(ijk) ^ 2} = \ frac {1} {216} \ times \ pi ^ 6 [/ math]

Answer 1

Lo sabemos…

La serie infinita [math] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {n ^ 2} [/ math] es convergente, porque es [math] p-series [/ math] con [ matemáticas] p = 2> 1 [/ matemáticas]

También sabemos que esta serie converge a [matemáticas] \ dfrac {π ^ 2} {6} [/ matemáticas]

Aquí la expresión dada [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ sum_ {j = 1} ^ {\ infty} \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {( ijk) ^ 2} [/ math] se puede escribir como …

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ sum_ {j = 1} ^ {\ infty} \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {i ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {j ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {k ^ 2} [/ math]. (Dado que [math] i, j, k [/ math] son ​​independientes de la suma)

[matemáticas] = (\ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {i ^ 2}) (\ sum_ {j = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {j ^ 2 }) (\ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {k ^ 2}) [/ math]

[matemáticas] = (\ dfrac {π ^ 2} {6}) (\ dfrac {π ^ 2} {6}) (\ dfrac {π ^ 2} {6}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {π ^ 6} {216} [/ matemáticas]

Por lo tanto, el problema está hecho.

Answer 2

La suma se factoriza en

[matemática] \ izquierda (\ sum \ frac {1} {n ^ 2} \ derecha) ^ 3 [/ matemática]

y luego use el hecho de que [math] \ sum 1 / n ^ 2 = \ pi ^ 2/6 [/ math].

Answer 3

Como podemos ver, las i, j, k son independientes entre sí.

Podemos dividir i, j, k en sus respectivas [matemáticas] \ sum [/ matemáticas]

Por lo tanto, la pregunta se convierte en:

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} 1 / i ^ {2} × \ sum_ {j = 1} ^ {\ infty} 1 / j ^ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] × \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} 1 / k ^ {2} [/ matemáticas]

Usando el hecho de que:

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} 1 / n ^ {2} = π ^ 2/6 [/ matemáticas]

Por lo tanto, todos estos términos son iguales a [matemática] π ^ 2/6 [/ matemática]

Y de ahí obtenemos [matemáticas] π ^ 2/6 × π ^ 2/6 × π ^ 2/6 [/ matemáticas]

[matemáticas] = π ^ 6/216 [/ matemáticas]

Answer 4

[matemática] deje S = \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ displaystyle \ sum_ {j = 1} ^ {\ infty} \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {(ijk) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] S = \ frac {{\ pi} ^ {2}} {6} \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ displaystyle \ sum_ {j = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {(ij) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] S = \ frac {{\ pi} ^ {4}} {36} \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {i ^ 2} [/ math]

[matemáticas] \ boxed {S ​​= \ frac {1} {216} \ times (\ pi) ^ 6} \ blacksquare [/ math]

Answer 5

Es solo [matemáticas] (\ sum_i \ frac {1} {i ^ 2}) (\ sum_j \ frac {1} {j ^ 2}) (\ sum_k \ frac {1} {k ^ 2}) = (\ frac {\ pi ^ 2} {6}) ^ 3 [/ math], y la factorización está justificada.