Si elige secuencias [math] (x_n), (y_n) [/ math] tal que [math] x_n ^ 3 = 2n \ pi [/ math] y [math] y_n ^ 3 = 2n \ pi + 1 [/ math ] puedes ver eso inmediatamente
[matemáticas] f (x_n) = sin (x_n ^ 3) = sin (2n \ pi) = 0 [/ matemáticas]
[matemática] f (y_n) = sin (y_n ^ 3) = sin (2n \ pi + 1) \ aprox. 0.84. [/ matemática]
Ahora verifiquemos la distancia entre [matemáticas] x_n [/ matemáticas] y [matemáticas] y_n [/ matemáticas]. Tenemos
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[matemáticas] 1 = y_n ^ 3 – x_n ^ 3 = (y_n – x_n) (y_n ^ 2 + y_n x_n + x_n ^ 2) [/ matemáticas]
y por lo tanto
[matemáticas] | y_n-x_n | = \ frac {1} {y_n ^ 2 + y_n x_n + x_n ^ 2} \ a 0 \ \ text {as} \ n \ to \ infty. [/ math]
Si desea utilizar la notación [math] \ epsilon- \ delta [/ math], tomemos [math] \ epsilon = 1/2 [/ math]. Para cualquier [math] \ delta> 0 [/ math] ahora podemos elegir [math] N \ in \ mathbb {N} [/ math] lo suficientemente grande como para que [math] | y_N – x_N | 1/2 = \ epsilon [/ math]. Por lo tanto, [math] f [/ math] no es uniformemente continuo.