Claro que existen tales funciones, y de hecho podemos clasificarlas todas (más o menos). Antes de comenzar, un recordatorio: nunca use variables no cuantificadas . En la pregunta tienes [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] y nunca dices qué son. Es natural interpretar que la pregunta requiere que la ecuación se mantenga cuando [math] x, y [/ math] son números reales positivos, y en su mayor parte eso es lo que haré.
Sea [math] g [/ math] cualquier función que satisfaga la ecuación
[matemáticas] g (x + y) = g (x) + g (y) [/ matemáticas]
para todos los números reales [matemática] x, y [/ matemática]. Esta es una ecuación funcional muy simple y bien conocida que a veces se conoce como la ecuación funcional de Cauchy.
- Cómo obtener [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ displaystyle \ sum_ {j = 1} ^ {\ infty} \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {(ijk) ^ 2} = \ frac {1} {216} \ times \ pi ^ 6 [/ math]
- Si [math] x [/ math] es un entero positivo que satisface [math] \ frac {x + \ sqrt {3}} {\ sqrt {x} + \ sqrt {x + \ sqrt {3}}} + \ frac {x – \ sqrt {3}} {\ sqrt {x} – \ sqrt {x- \ sqrt {3}}} = \ sqrt {x} [/ math]. ¿Cuál es el valor de [matemáticas] x [/ matemáticas]?
- Cómo probar f: [0, inf) -> [0,1] f (x) = sin (x ^ 3) no es continuo uniforme usando secuencias x_n ^ 3 = 2npi e y_n ^ 3 = 2npi + 1
- 2013 + a ^ 2 = b ^ 2, donde a y b son números naturales. Entonces, ¿cuál es la válvula mínima de b?
- ¿Qué es 2/2?
Dado tal [matemática] g [/ matemática], definamos para [matemática] x> 0 [/ matemática]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ exp (g (\ log (x))) [/ matemáticas]
La idea aquí es que [math] \ log [/ math] convierte productos en sumas y [math] \ exp [/ math] convierte sumas en productos, entonces si [math] g [/ math] conserva sumas, [math] f [/ math] preservará los productos.
Vamos a ver eso:
[matemáticas] \ begin {align} f (xy) & = & \ exp (g (\ log (xy)) \\ & = & \ exp (g (\ log x + \ log y)) \\ & = & \ exp (g (\ log x) + g (\ log y)) \\ & = & \ exp (g (\ log x)) \ exp (g (\ log y)) \\ & = & f (x) f (y) \ end {align} [/ math]
En pocas palabras, esta simple transformación exp-log convierte una función Cauchy “aditiva” en una función Cauchy “multiplicativa”.
Ahora, cualquier función [matemática] g [/ matemática] que satisfaga la ecuación de Cauchy debe satisfacer [matemática] g (0) = 0 [/ matemática], entonces [matemática] f (1) = 1 [/ matemática]. Por lo tanto
[matemáticas] f (x) f (1 / x) = f (1) = 1 [/ matemáticas]
entonces
[matemáticas] f (1 / x) = 1 / f (x) [/ matemáticas]
y por lo tanto
[matemáticas] f (x / y) = f (x) f (1 / y) = f (x) / f (y) [/ matemáticas].
Trabajando en la otra dirección, comenzando desde cualquier función [matemática] f [/ matemática] satisfactoria [matemática] f (\ frac {x} {y}) = \ frac {f (x)} {f (y)} [/ matemática], ponemos [matemática] x = y = 1 [/ matemática] y encontramos [matemática] f (1) = \ frac {f (1)} {f (1)} [/ matemática]. Esto significa que [matemática] f (1) [/ matemática] es distinta de cero y luego [matemática] f (1) = f (1) ^ 2 [/ matemática] entonces [matemática] f (1) = 1 [/ matemática] . Por lo tanto, [math] f (\ frac {1} {y}) = \ frac {1} {f (y)} [/ math] para todos [math] y [/ math], y luego [math] f (xy ) = f (x) f (y) [/ math] para todos [math] x, y [/ math].
En particular, [matemática] f (x ^ 2) = (f (x)) ^ 2 [/ matemática], entonces [matemática] f (x) [/ matemática] es positiva siempre que [matemática] x [/ matemática] sea positivo. Ahora podemos definir
[matemáticas] \ displaystyle g (x) = \ log (f (\ exp (x))) [/ matemáticas]
y, como antes, concluya que [matemáticas] g (x + y) = g (x) + g (y) [/ matemáticas].
En resumen, las funciones descritas en la pregunta corresponden directamente a funciones que satisfacen la ecuación de Cauchy, a través de una simple transformación exp-log. Comprender esas funciones es, en consecuencia, lo mismo que comprender las soluciones a la ecuación de Cauchy.
Hay dos tipos de tales soluciones.
El primer tipo son los continuos, y son muy simples de describir. Cualquier función continua [matemática] g [/ matemática] que satisfaga [matemática] g (x + y) = g (x) + g (y) [/ matemática] tiene la forma [matemática] g (x) = ax [/ matemática], para algún número constante [matemática] a [/ matemática]. Es un buen ejercicio para demostrar por qué esto debe ser así.
Mirando nuestra definición de [matemáticas] f [/ matemáticas] de [matemáticas] g [/ matemáticas], vemos que estas funciones producen
[matemáticas] f (x) = \ exp (a \ log x) = x ^ a [/ matemáticas].
Para algunos valores de [math] a [/ math] (es decir, los enteros positivos), esta expresión tiene sentido para todos [math] x [/ math], pero generalmente solo tiene sentido para los valores positivos de [math] x [ /matemáticas].
El otro tipo de funciones aditivas [matemáticas] g [/ matemáticas] son las no continuas, y son terriblemente no continuas. Se pueden definir fácilmente utilizando una base de Hamel, que es una base para los reales como un espacio vectorial sobre los racionales. No hay una forma razonable de escribir estas funciones “explícitamente”, pero existen en abundancia, y cualquier función de este tipo produce una función correspondiente [matemática] f [/ matemática] que satisface la ecuación en las preguntas, como describimos.