¿Cuál es el valor de [matemáticas] 1-1 + 1-1 + 1-1 + \ cdots [/ matemáticas]?

Esta suma, cuando se interpreta de la manera estándar, es decir, como el límite de la secuencia

[matemáticas] 1, 1-1, 1-1 + 1, 1-1 + 1-1, \ ldots [/ matemáticas]

diverge , porque el límite de la secuencia anterior no existe.

Sin embargo, cuando se interpreta como una suma de Cesàro, es decir, como el límite de la secuencia

[matemáticas] \ dfrac {1} {1}, \ dfrac {1+ (1-1)} {2}, \ dfrac {1+ (1-1) + (1-1 + 1)} {3}, \ dfrac {1+ (1-1) + (1-1 + 1) + (1-1 + 1-1)} {4}, \ ldots [/ math]

converge a [math] \ frac {1} {2} [/ math], ya que este número es el límite de la secuencia anterior.

Tenga en cuenta que si una suma infinita (en el sentido tradicional) converge a algún número [matemático] k [/ matemático], entonces la misma suma también converge en el sentido de sumatoria Cesáro; además, converge al mismo número [math] k [/ math]. Lo contrario, por supuesto, es falso, como lo ilustra la suma en la pregunta.

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +… ∞

A veces se la llama la serie de Grandi, por el matemático, filósofo y sacerdote italiano Guido Grandi, quien dio un tratamiento memorable de la serie en 1703. Es una serie divergente, lo que significa que carece de una suma en el sentido habitual. Por otro lado, su suma de Cesàro es 1/2.

Un método obvio para atacar la serie.

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +…

es tratarlo como una serie telescópica y realizar las restas en su lugar:

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) +… = 0 + 0 + 0 +… = 0.

Por otro lado, un procedimiento de horquillado similar conduce a un resultado aparentemente contradictorio.

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +… = 1 + 0 + 0 + 0 +… = 1.

Por lo tanto, al aplicar paréntesis a las series de Grandi de diferentes maneras, se puede obtener 0 o 1 como “valor”. (Las variaciones de esta idea, llamada estafa de Eilenberg-Mazur, a veces se usan en la teoría de nudos y el álgebra).

Al tratar la serie de Grandi como una serie geométrica divergente, podemos usar los mismos métodos algebraicos que evalúan las series geométricas convergentes para obtener un tercer valor:

S = 1 – 1 + 1 – 1 +…, entonces

1 – S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 +…) = 1 – 1 + 1 – 1 +… = S

1 – S = S

1 = 2 * S,

resultando en S = 1/2.

Árbitro. Serie de Grandi – Wikipedia

Esta es la serie de Grandi después del matemático italiano Guido Grandi, quien dio un tratamiento memorable de la serie en 1703. Es una serie divergente, lo que significa que carece de una suma en el sentido habitual. Por otro lado, su suma de Cesàro es 1/2.

Un método obvio para atacar la serie.

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +…

es tratarlo como una serie telescópica y realizar las restas en su lugar:

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) +… = 0 + 0 + 0 +… = 0.

Por otro lado, un procedimiento de horquillado similar conduce a un resultado aparentemente contradictorio.

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +… = 1 + 0 + 0 + 0 +… = 1.

Por lo tanto, al aplicar paréntesis a las series de Grandi de diferentes maneras, se puede obtener 0 o 1 como “valor”.

Al tratar la serie de Grandi como una serie geométrica divergente, podemos usar los mismos métodos algebraicos que evalúan las series geométricas convergentes para obtener un tercer valor:

S = 1 – 1 + 1 – 1 +…, entonces

1 – S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 +…) = 1 – 1 + 1 – 1 +… = S

1 – S = S

1 = 2 * S,

resultando en S = 1/2. La misma conclusión resulta de calcular −S, restar el resultado de S y resolver 2S = 1. [1]

Las manipulaciones anteriores no consideran lo que realmente significa la suma de una serie. Aún así, en la medida en que es importante poder agrupar series a voluntad, y que es más importante poder realizar aritmética con ellas, se pueden llegar a dos conclusiones:

La serie 1 – 1 + 1 – 1 + … no tiene suma. [1] [2]

… pero su suma debe ser 1/2

De hecho, ambas afirmaciones pueden hacerse precisas y formalmente probadas, pero solo utilizando conceptos matemáticos bien definidos que surgieron en el siglo XIX. Después de la introducción del cálculo del siglo XVII en Europa, pero antes del advenimiento del rigor moderno, la tensión entre estas respuestas alimentó lo que se ha caracterizado como una disputa “interminable” y “violenta” entre matemáticos.