Sí, pero sería mucho más fácil si en lugar de la Transformada de Fourier, utilizaras la Transformada de Laplace (LT). El LT de cada término convertiría su ecuación diferencial en la ecuación algebraica en la variable compleja S al notar que el LT de la segunda derivada de una función de x es s ^ 2 F (s) – s F (0) – dF ( 0) / dx donde F (s) es el LT de la función desconocida en x. Entonces tenemos
s ^ 2 F (s) – s F (0) – dF (0) / dx + k F (s) = 0 eq. 1
Denotando F (0) como C1 y dF (0) / dx como C2 podemos expresar F (s) como
F (s) = (C1 s + C2) / (s ^ 2 + k) = C1 s / (s ^ 2 + k) + C2 / (s ^ 2 + k) eq. 2
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Ahora, busque en una tabla de transformadas inversas los términos en el lado derecho de la ecuación para F (s) y observe que para k> 0 se obtiene la suma de C2 sin (mx) / my C1 cos (mx) donde m es la raíz cuadrada de k.
Un proceso idéntico al de la ecuación. 1 a la ec. 2 se realiza con la transformada de Fourier con la excepción de que en lugar de tratar con la variable compleja “s” en la transformada de Fourier, estamos tratando con la variable compleja jwx, donde j representa imaginario y w representa omega (o frecuencia angular en mecánica y electricidad). El papel de “s” que es equivalente a “jwx” es obvio tanto en Laplace como en Fourier, integrales de par transformado.
En mi experiencia, es más probable que encuentre fácilmente una tabla de pares de transformación de Laplace que una tabla de pares de transformación de Fourier. Por supuesto, no tener que lidiar con esos molestos conjugados complejos para recopilar términos imaginarios al pasar de la ecuación 1 a la ecuación. 2 para descubrir la transformada inversa de Fourier como se hizo con F (s) arriba hace que los LT sean la forma más práctica de tratar estas ecuaciones diferenciales con problemas de valor inicial.