¿Por qué [matemática] y ^ 2 = x ^ 2 [/ matemática] no es lo mismo que [matemática] y = \ sqrt {x ^ 2} [/ matemática]?

Answer 1

Bueno, debes verificar el dominio de definición para las raíces de esta ecuación:

Si busca respuestas dentro de números reales positivos, entonces sí,

[matemáticas] y ^ 2 = x ^ 2 [/ matemáticas] es lo mismo que [matemáticas] y = \ sqrt {x ^ 2} [/ matemáticas]

Sin embargo, tan pronto como expande el dominio de los enteros en los que trabaja para incluir números negativos, se da cuenta rápidamente de que esta afirmación es falsa

let [matemáticas] x = -2 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = -2 [/ matemáticas]

[matemática] (-2) ^ 2 = (-2) ^ 2 [/ matemática] por lo tanto [matemática] y ^ 2 = x ^ 2 [/ matemática]

sin embargo

[matemática] \ sqrt {(- 2) ^ 2} = 2 [/ matemática] y [matemática] 2 ≠ -2 [/ matemática] [/ matemática] por lo tanto [matemática] y ≠ \ sqrt {x ^ 2} [/ matemáticas]

Y es por eso que no son lo mismo.

Answer 2

Hay valores negativos de y para los que se satisface la primera ecuación. Por ejemplo,

[matemáticas] x = 2 [/ matemáticas], [matemáticas] y = -2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 = y ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (2) ^ 2 = (- 2) ^ 2 [/ matemáticas]

Pero esos dos valores no satisfarían la segunda ecuación.

[matemáticas] -2 \ neq \ sqrt {2 ^ 2} [/ matemáticas]

Para que esta ecuación sea verdadera, solo agregue [math] \ pm [/ math] delante de sqrt para incluir tanto la raíz cuadrada como la raíz principal.

Answer 3

Un ejemplo simple que prueba la noquivalencia es el caso donde x = 1 e y = -1.

y ^ 2 = (- 1) (- 1) = 1
x ^ 2 = (1) (1) = 1 así
x ^ 2 = y ^ 2

SIN EMBARGO

y = -1
sqrt (x ^ 2) = sqrt (1 * 1) = sqrt (1) = 1, por lo tanto
y ! = sqrt (x ^ 2)

Para que la expresión A sea equivalente a B, A debe ser verdadera para todos los valores que satisfacen B y B debe ser verdadera para todos los valores que satisfacen A, y de manera similar, A debe ser falsa para todos los valores que no satisfacen B y B debe ser falso para todos los valores que no satisfacen A. Solo se necesita un contraejemplo para demostrar la no equivalencia.

Answer 4

¿Está?

Podemos establecer que la primera ecuación es simplemente decir y = x y, en consecuencia, será una ecuación lineal con una pendiente de uno, sin importar el hecho de que ambas ecuaciones son completamente algebraicamente equivalentes si derivamos la ecuación y = x obtenemos que la pendiente es equivalente a 1, derivando la ecuación y = (x ^ 2) ^. 5 una vez más se nos dice que la pendiente es igual a 1.

(x ^ 2) ^. 5

(.5 (x ^ 2) ^ -. 5) * 2x

x / (x ^ 2) ^. 5

x / x

= 1

y conectando un punto de prueba en x = 0 para ambas ecuaciones, obtenemos que ambas existen en y = 0, por consiguiente, ambas ecuaciones son equivalentes.

Answer 5

Porque tienes que considerar las raíces cuadradas positivas y negativas:

[matemáticas] y ^ 2 = x ^ 2 \ not \ Rightarrow y = x [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 2 = x ^ 2 \ implica y = \ pm x [/ matemáticas]

Answer 6

¿Quién te dice que no son lo mismo?

De hecho, si lo escribimos con mayor precisión, [math] y = \ pm \ sqrt {x ^ 2} [/ math].

Answer 7

Quien te dijo que ambos son diferentes, ambos son la misma expresión

Espero que entiendas lo que estoy tratando de decir.