Cómo resolver -sin3x-cosx = 0

Sorprendido de ver que ninguna de las respuestas aquí ha recibido ningún voto positivo. Veamos si mi respuesta tendrá algún voto positivo, jajaja.

Mi respuesta será bastante larga, así que por favor sea paciente.

Este es un problema bastante fácil en realidad.

[matemáticas] -sin (3x) – cos (x) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Leftrightarrow sin (3x) + cos (x) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Leftrightarrow sin (2x + x) + cos (x) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ Leftrightarrow sin (2x) cos (x) + cos (2x) sin (x) + cos (x) = 0 [/ math]

[matemática] \ Leftrightarrow [1 + sin (2x)] cos (x) + [cos ^ 2 (x) – sin ^ 2 (x)] sin (x) = 0 [/ matemática]

[matemática] \ Leftrightarrow [sin ^ 2 (x) + 2sin (x) cos (x) + cos ^ 2 (x)] cos (x) + [cos ^ 2 (x) – sin ^ 2 (x)] sin (x) = 0 [/ matemáticas]

(Use las ecuaciones:

[matemáticas] cos ^ 2 (x) + sin ^ 2 (x) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] sin (2x) = 2sin (x) cos (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] cos (2x) = cos ^ 2 (x) – sin ^ 2 (x) [/ matemáticas]

)

[matemáticas] \ Leftrightarrow [sin (x) + cos (x)] ^ 2cos (x) + [cos (x) – sin (x)] [cos (x) + sin (x)] sin (x) = 0 [/matemáticas]

[matemáticas] \ Leftrightarrow [sin (x) + cos (x)] [(sin (x) + cos (x)) cos (x) + (cos (x) – sin (x)) sin (x)] = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Leftrightarrow [sin (x) + cos (x)] [sin (x) cos (x) + cos ^ 2 (x) + sin (x) cos (x) – sin ^ 2 (x)] = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ Leftrightarrow [sin (x) + cos (x)] [2sin (x) cos (x) + cos ^ 2 (x) – sin ^ 2 (x)] = 0 [/ matemática]

[matemática] \ Leftrightarrow [sin (x) + cos (x)] [sin (2x) + cos (2x)] = 0 [/ matemática]

[matemática] \ Leftrightarrow sin (x) + cos (x) = 0 [/ math] o [math] sin (2x) + cos (2x) = 0 [/ math]

Para la ecuación [matemáticas] sin (x) + cos (x) = 0 [/ matemáticas]

Dado que [math] cos (x) \ neq 0 [/ math] (porque si [math] cos (x) = 0 [/ math], entonces [math] sin (x) = \ pm 1 \ neq 0 [/ math ])

Por lo tanto, divida ambos lados entre [math] cos (x) [/ math]:

[matemáticas] tan (x) + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Leftrightarrow tan (x) = -1 [/ matemáticas]

[matemática] \ Leftrightarrow x = – \ frac {\ pi} {4} + 2k \ pi [/ math] o [math] x = \ frac {3 \ pi} {4} + 2k \ pi (k \ en Z )[/matemáticas]

Para la ecuación [matemáticas] sin (2x) + cos (2x) = 0 [/ matemáticas]

Dado que [math] cos (2x) \ neq 0 [/ math] (porque si [math] cos (2x) = 0 [/ math], entonces [math] sin (2x) = \ pm 1 \ neq 0 [/ math ])

Por lo tanto, divida ambos lados entre [math] cos (2x) [/ math]:

[matemáticas] bronceado (2x) + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ Leftrightarrow tan (2x) = -1 [/ matemática]

[matemáticas] \ Leftrightarrow 2x = – \ frac {\ pi} {4} + 2k \ pi o 2x = \ frac {3 \ pi} {4} + 2k \ pi (k \ en Z) [/ math]

[matemática] \ Leftrightarrow x = – \ frac {\ pi} {8} + k \ pi [/ math] o [math] x = \ frac {3 \ pi} {8} + k \ pi (k \ en Z )[/matemáticas]

Entonces hay 4 soluciones diferentes:

[matemáticas] x = – \ frac {\ pi} {4} + 2k \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {3 \ pi} {4} + 2k \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] x = – \ frac {\ pi} {8} + k \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {3 \ pi} {8} + k \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] (k \ en Z) [/ matemáticas]

Hagamos un chequeo rápido para asegurarnos de que estas sean las soluciones correctas (¡disculpe por ser tan meticuloso!)

[matemáticas] x = – \ frac {\ pi} {4} + 2k \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] sin (3x) + cos (x) [/ matemáticas]

[math] = sin (- \ frac {3 \ pi} {4} + 6k \ pi) + cos (- \ frac {\ pi} {4} + 2k \ pi) [/ math]

[matemáticas] = sin (- \ frac {3 \ pi} {4}) + cos (- \ frac {\ pi} {4}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ frac {\ sqrt {2}} {2} + \ frac {\ sqrt {2}} {2} = 0 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow x = – \ frac {\ pi} {4} + 2k \ pi (k \ in Z) [/ math] es una solución de corrección.


[matemáticas] x = \ frac {3 \ pi} {4} + 2k \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] sin (3x) + cos (x) [/ matemáticas]

[matemática] = sin (\ frac {9 \ pi} {4} + 6k \ pi) + cos (\ frac {3 \ pi} {4} + 2k \ pi) [/ matemática]

[matemáticas] = sin (\ frac {9 \ pi} {4}) + cos (\ frac {3 \ pi} {4}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = sin (\ frac {\ pi} {4}) + cos (\ frac {3 \ pi} {4}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {\ sqrt {2}} {2} – \ frac {\ sqrt {2}} {2} = 0 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow x = \ frac {3 \ pi} {4} + 2k \ pi (k \ in Z) [/ math] es una solución de corrección.


[matemáticas] x = – \ frac {\ pi} {8} + k \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] sin (3x) + cos (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = sin (- \ frac {3 \ pi} {8} + 3k \ pi) + cos (- \ frac {\ pi} {8} + k \ pi) [/ matemáticas]

[matemáticas] = sin (- \ frac {3 \ pi} {8}) cos (3k \ pi) + cos (- \ frac {3 \ pi} {8}) sin (3k \ pi) + cos (- \ frac {\ pi} {8} + k \ pi) cos (k \ pi) – sin (- \ frac {\ pi} {8} + k \ pi) sin (k \ pi) [/ math]

[matemática] = sin (- \ frac {3 \ pi} {8}) cos (3k \ pi) + cos (- \ frac {\ pi} {8}) cos (k \ pi) [/ math]

[matemáticas] = -sin (\ frac {3 \ pi} {8}) cos (k \ pi + 2k \ pi) + cos (\ frac {\ pi} {8}) cos (k \ pi) [/ math ]

[matemáticas] = -sin (- \ frac {\ pi} {8} + \ frac {\ pi} {2}) cos (k \ pi) + cos (\ frac {\ pi} {8}) cos (k \ pi) [/ matemáticas] (1)

Ahora: [matemáticas] sin (- \ frac {\ pi} {8} + \ frac {\ pi} {2}) = sin (- \ frac {\ pi} {8}) cos (\ frac {\ pi} {2}) + cos (- \ frac {\ pi} {8}) sin (\ frac {\ pi} {2}) = cos (- \ frac {\ pi} {8}) = cos (\ frac { \ pi} {8}) [/ matemáticas]

(1) [matemáticas] \ Leftrightarrow -cos (\ frac {\ pi} {8}) cos (k \ pi) + cos (\ frac {\ pi} {8}) cos (k \ pi) = 0 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow x = – \ frac {\ pi} {8} + k \ pi (k \ in Z) [/ math] es una solución de corrección.


[matemáticas] x = \ frac {3 \ pi} {8} + k \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] sin (3x) + cos (x) [/ matemáticas]

[math] = sin (\ frac {9 \ pi} {8} + 3k \ pi) + cos (\ frac {3 \ pi} {8} + k \ pi) [/ math]

[matemáticas] = sin (\ frac {9 \ pi} {8}) cos (3k \ pi) + cos (\ frac {9 \ pi} {8}) sin (3k \ pi) + cos (\ frac {3 \ pi} {8}) cos (k \ pi) – sin (\ frac {3 \ pi} {8}) sin (k \ pi) [/ math]

[matemáticas] = sin (\ frac {9 \ pi} {8}) cos (3k \ pi) + cos (\ frac {3 \ pi} {8}) cos (k \ pi) [/ matemáticas]

[matemáticas] = sin (\ frac {\ pi} {8} + \ pi) cos (k \ pi + 2k \ pi) + cos (- \ frac {\ pi} {8} + \ frac {\ pi} { 2}) cos (k \ pi) [/ matemáticas]

[matemáticas] = -sin (\ frac {\ pi} {8}) cos (k \ pi) + cos (- \ frac {\ pi} {8} + \ frac {\ pi} {2}) cos (k \ pi) [/ matemáticas] (2)

Ahora: [matemáticas] cos (- \ frac {\ pi} {8} + \ frac {\ pi} {2}) = cos (- \ frac {\ pi} {8}) cos (\ frac {\ pi} {2}) – sin (- \ frac {\ pi} {8}) sin (\ frac {\ pi} {2}) = -sin (- \ frac {\ pi} {8}) = sin (\ frac {\ pi} {8}) [/ matemáticas]

(2) [matemáticas] \ Leftrightarrow -sin (\ frac {\ pi} {8}) cos (k \ pi) + sin (\ frac {\ pi} {8}) cos (k \ pi) = 0 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow x = \ frac {3 \ pi} {8} + k \ pi (k \ in Z) [/ math] es una solución de corrección.

Verificación completada.

-sin 3x -cos x = 0 implica que -cos 3x = sin 3x. Por lo tanto cos3x = -sin3x. es decir, cos3x = cos (pi / 2 + 3x).

Por lo tanto, la solución general es 3x = 2n pi + o – (pi / 2 + 3x). La simplificación de esto lleva a

x = n pi / 3- pi / 2.

-sin3x-cosx = 0

-sin3x = cosx

cos (3 * pi / 2–3x) = cosx [cos (270-theta) = – sin (theta)]

entonces; 3 * pi / 2–3x = x

3 * pi / 2 = x + 3x

3 * pi / 2 = 4x

3 * pi / 8 = x

por lo tanto x = n * 3 * pi / 8 [donde n = 1,2,3,4 ………….]

Siempre me gusta usar grados para estas preguntas. Para la mayoría de las personas, los grados son mucho más amigables que los radianes.

¿Supongo que la pregunta se escribió correctamente con dos signos menos?

– sin (3x) – cos (x) = 0, lo que considero muy extraño.

Esto es lo mismo que: sin (3x) + cos (x) = 0

Cambio de cos a sin: sin (3x) + sin (90 – x) = 0

para que: sin (x + 45) = 0 o cos (2x – 45) = 0

Esto significa que hay dos conjuntos de soluciones:

Si sin (x + 45) = 0, entonces x + 45 = 180n = 0, 180, 360, 450, 720 …

Entonces x = 180n – 45 = – 45, 135, 315, 405, 675 ….

____________________________________________________________

Si cos (2x – 45) = 0 entonces 2x – 45 = 90 + 360n o 270 + 360n

Si 2x – 45 = 90 + 360n _________________ Si 2x – 45 = 270 + 360n

2x = 135 + 360n ________________________2x = 315 + 360n

x = 67.5 + 180n __________________________x = 157.5 + 180n

x = 67.5, 247.5, 427.5 … __________________ x = 157.5, 337.5 …

La pregunta no especificaba el intervalo requerido para las soluciones. He dado una forma general y varias respuestas específicas.

El gráfico que muestra las intersecciones verifica estas soluciones.

Solucionador de ecuaciones:

Solución: x = -45 , y = -0.7071

Solución: x = -22.5, y = -0.9239

Solución: x = 67.5, y = -0.3827

Solución: x = 135, y = 0.7071

Solución: x = 157.5, y = 0.9239

Solución: x = 247.5, y = 0.3827

Solución: x = 315, y = -0.7071

Solución: x = 337.5, y = -0.9239

sin3x = -cosx

cos (3x – 90) = cos (180-x)

3x-90 = 360n ± 180-x

4x = 360n + 270 o 4x = 360n-90

x = 90n + 67.5 o x = 90n-22.5, n∈Z, ángulos en grados

Haga sin3x = cos (pi / 2–3x), luego use la fórmula para convertir la suma de cosenos en producto.

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