¿Puede resolver (paso a paso) la siguiente desigualdad: [matemáticas] \ sqrt {2x ^ 2-5x}> -x ^ 2 + 2x -1 [/ matemáticas]?

Answer 1

Lo primero que noto es que la desigualdad es no lineal, lo que significa que no puedo usar álgebra simple para resolverlo; No necesariamente sé dónde las varias partes son positivas o negativas, por lo que la multiplicación por un negativo, volteando alrededor del signo de desigualdad, podría ocurrir varias veces.

Además, el dominio de la porción radical es limitado, ya que el radicando debe ser mayor o igual a cero para una solución real. Por esa razón, el primer paso debe ser resolver [matemáticas] 2x ^ 2-5x \ ge0 [/ matemáticas]. Esa cuadrática se puede factorizar como [math] (x) (2x-5) \ gt0 [/ math], que tiene ceros en [math] x = \ {0,2.5 \} [/ math], y es cóncava hacia arriba, entonces [math] x: x \ le0 \ cup x \ ge2.5 [/ math].

Ahora, mirando el lado derecho, es cuadrático, cóncavo hacia abajo, discriminante [matemáticas] b ^ 2-4ac = (2) ^ 2-4 (-1) (- 1) = 0 [/ matemáticas] – uno cero – y factores a [matemática] – (x-1) ^ 2 [/ matemática], cero a [matemática] (1,0) [/ matemática].

Al unir estas piezas, el rango del lado izquierdo es [math] y \ ge0 [/ math] en todo su dominio (que excluye [math] 0 \ lt x \ lt2.5 [/ math]), El rango del lado derecho está [math] y \ le0 [/ math] sobre su dominio (todos los números reales), con un máximo que cae fuera del dominio del lado izquierdo, aunque eso no importa por esta particular desigualdad.

Por lo tanto, la solución es el dominio completo del lado izquierdo, [matemáticas] x: x \ le0 \ cup x \ ge2.5 [/ matemáticas].

Verificación gráfica:

Answer 2

El lado derecho es [matemática] – (x-1) ^ 2 [/ matemática] que es negativa y [matemática] 0 [/ matemática] cuando [matemática] x = 1 [/ matemática]. El lado derecho es positivo y [matemático] 0 [/ matemático] cuando [matemático] x = 0 [/ matemático] o [matemático] \ dfrac {5} {2} [/ matemático]. El lado izquierdo nunca es más pequeño que el derecho.

Answer 3

Primero, supongo que estamos buscando soluciones en números reales, por lo que lo que está debajo de la raíz cuadrada debe ser mayor o igual a cero. Entonces nuestras soluciones son:

[matemáticas] 2x ^ 2-5x \ ge 0 \ iff x \ in (- \ infty, 0] \ cup [\ frac {5} {2}, \ infty) [/ math]

Luego, notamos que el lado derecho es igual a [matemática] – (x-1) ^ 2 [/ matemática] que siempre es negativa excepto cuando [matemática] x = 1 [/ matemática], sin embargo, el valor debajo de la raíz cuadrada es entonces [math] -3, \ [/ math] que está fuera de nuestro intervalo de soluciones. Como la raíz cuadrada siempre es positiva, la desigualdad original se aplica a todos los números que están en el intervalo superior.

Entonces:

[matemáticas] \ sqrt {2x ^ 2-5x}> -x ^ 2 + 2x-1 \ iff x \ in (- \ infty, 0] \ cup [\ frac {5} {2}, \ infty) [/ matemáticas]

Answer 4

Lado derecho:
-x ^ 2 + 2 * x-1 = – (x ^ 2-2 * x + 1) = – (x-1) ^ 2 <= 0
Si x == 1, -x ^ 2 + 2 * x-1 = 0

El lado izquierdo es positivo o igual a 0 o es un número complejo.
2 * x ^ 2–5 * x> = 0
x * (2 * x – 5)> = 0
Las soluciones reales son para x <= 0 yx> = 5/2

Si x == 1, sqrt (2 * x ^ 2–5 * x) = sqrt (x * (2 * x – 5)) = sqrt (-3) = i * sqrt (3)

El lado izquierdo siempre es mayor que el lado derecho o es un número complejo.

Answer 5

2x ^ 2–5x <0 si 0

Si x <= 0 yx> = 2.5, el lado izquierdo no es negativo.

El lado derecho es – (x-1) ^ 2 es igual a 0 para x = 1 y negativo para todos los demás valores de x.

Entonces, la desigualdad es válida para todos los valores de x donde ambos lados están definidos. El lado izquierdo siempre es positivo o cero, el lado derecho siempre es negativo.

La respuesta es entonces x <= 0 yx> = 2.5.