No está del todo claro lo que está preguntando aquí (por las razones que se explican a continuación), así que tomé un par de posibles interpretaciones y respondí a ellas:
Quizás se pregunte si es una práctica común escribir [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} f (x) = x [/ matemáticas] como abreviatura de [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ frac {f (x)} {x} = 1 [/ math], y la respuesta es que no es una práctica común hacer esto; no es estándar y confundirá a las personas sin explicación.
En la notación matemática estándar, su segunda expresión ni siquiera tiene un significado: la [matemática] x [/ matemática] solo tiene un significado como “variable ligada” en el contexto de la [matemática] \ lim_ {x \ a 0 } [/ math], y no tiene ningún significado fuera de como parámetro de entrada para la función cuyo límite se está tomando.
Es como preguntar “¿[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {5} i ^ 2 = i [/ matemáticas]?”. En el lado izquierdo, está claro lo que significa [matemáticas] i [/ matemáticas]: es una variable que toma sucesivamente los valores 1, 2, 3, 4, 5, cuyos cuadrados se resumen. Pero en el lado derecho, [math] i [/ math] no tiene valor, y no tiene sentido preguntar si el lado izquierdo coincide con el lado derecho. Es exactamente tan insignificante como preguntar “¿Tiene [matemáticas] 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 5 ^ 2 = i [/ matemáticas]?”.
Esto no quiere decir que no pueda tener un significado natural en mente para la segunda expresión; por ejemplo, que el límite de la diferencia de los dos lados debería ser 0, o que el límite de la relación de los dos lados debería ser 1, o alguna otra cosa similar. Podría decirse a usted mismo por la segunda expresión cualquiera de estos que le guste, no sería completamente antinatural hacerlo, pero la gente no escribe de esta manera de manera estándar y se confundirá si les escribe de esta manera. Si de hecho tiene la intención de uno de estos significados, es imposible saber a qué se refiere, sin más aclaraciones. (Hay anotaciones compactas estándar para estas cosas que pueden interesarle; por ejemplo, una tilde sugestiva de similitud a menudo se usa para denotar que dos funciones tienen una relación asintótica de 1 cuando se acerca a algún punto límite)
Lo que me lleva a otra posible interpretación de su pregunta. Quizás en realidad esté preguntando algo como “¿Son las declaraciones [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {f (x)} {x} = 1 [/ math] y [math] \ displaystyle \ lim_ { x \ to 0} f (x) – x = 0 [/ math] equivalente? ¿Alguno implica al otro? ”.
Tenemos una implicación de la declaración de división a la declaración de resta aquí: si [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {f (x)} {x} = 1 [/ math], entonces [math ] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} f (x) – x = \ lim_ {x \ to 0} \ left (\ frac {f (x)} {x} – 1 \ right) x [/ math] , que es el límite del producto de dos cantidades que se acercan a 0 y, por lo tanto, se acercan a 0.
Sin embargo, la declaración de resta no implica la declaración de división: si consideramos [math] f (x) = 2x [/ math], por ejemplo, entonces encontramos que [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} 2x – x = \ lim_ {x \ to 0} x = 0 [/ math], pero [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {2x} {x} = \ lim_ {x \ to 0} 2 = 2 [/ matemáticas].
Por lo tanto, esta declaración de división y esta declaración de resta no son equivalentes, y generalmente no puedes reescribir una como la otra sin cambiar su significado.