Cómo factorizar [matemáticas] x ^ 8 + x + 1 [/ matemáticas]

Answer 1

Ya hay muchas respuestas. Aquí hay un enfoque ligeramente diferente …

Recordando las propiedades de la raíz cúbica de la unidad

Propiedades

1. [matemáticas] \ omega ^ 3 = 1 [/ matemáticas]
2. [matemáticas] \ omega ^ 2 + \ omega + 1 = 0 [/ matemáticas]

---

Permítanme escribir la expresión dada en función de la raíz cúbica de la unidad por conveniencia

[matemáticas] f (\ omega) = \ omega ^ 8 + \ omega + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (\ omega ^ 3) ^ 2 \ omega ^ 2 + \ omega + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ omega ^ 2 + \ omega + 1 [/ matemáticas] … Esto parece ser [matemáticas] f (x) = x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 0 [/ matemáticas] [Usando la propiedad 2]

Esto nos dice que

[matemáticas] f (x) = (x ^ 2 + x + 1) Q (x) [/ matemáticas]

Ahora, en la parte de factoring. Esto debería ser un poco más fácil ya que conocemos un factor …

[matemáticas] x ^ 8 + x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 8-x ^ 2 + x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 (x ^ 6–1) + (x ^ 2 + x + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 (x ^ 3 + 1) (x ^ 3–1) + (x ^ 2 + x + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 (x ^ 3 + 1) (x-1) (x ^ 2 + x + 1) + (x ^ 2 + x + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x ^ 2 + x + 1) \ {x ^ 2 (x ^ 3 + 1) (x-1) +1 \} [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x ^ 2 + x + 1) \ {(x ^ 3 + 1) (x ^ 3-x ^ 2) +1 \} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ en caja {(x ^ 2 + x + 1) (x ^ 6-x ^ 5 + x ^ 3-x ^ 2 + 1)} [/ matemáticas]

Estoy de acuerdo en que podría haberlo hecho más corto.

Answer 2

Poner [matemáticas] x = 10 [/ matemáticas]. Obtienes [matemáticas] 100000011 [/ matemáticas]. Y eso es decimal, no binario.

Ahora, ¿cómo se factoriza eso? Bueno, es [matemáticas] 99999999 + 12 [/ matemáticas]. O [matemáticas] 99999900 + 111 [/ matemáticas]. ¡Ajá! Entonces es un múltiplo de [math] 111 [/ math].

[matemáticas] 100000011 = 111 \ veces 900901 [/ matemáticas].

Por supuesto, [matemáticas] 111 [/ matemáticas] es realmente [matemáticas] 100 + 10 + 1 [/ matemáticas], y [matemáticas] 900901 [/ matemáticas] es realmente [matemáticas] 1000000 – 10000 + 1000 – 100 + 1 [ /matemáticas].

Así, los factores son [matemática] x ^ 2 + x + 1 [/ matemática] y [matemática] x ^ 6-x ^ 5 + x ^ 3-x ^ 2 + 1 [/ matemática].

Multiplique los dos y obtendrá [matemática] x ^ 8 + x + 1 [/ matemática]. En este punto, la solución es tan rigurosa como cualquiera.

---

¿Podría [matemática] p (x) = x ^ 6-x ^ 5 + x ^ 3-x ^ 2 + 1 [/ matemática] factorizarse más? Suponga que [matemática] p (x) = u (x) v (x) [/ matemática] donde [matemática] u (x) [/ matemática] tiene grado [matemática] m [/ matemática] y [matemática] v (x ) [/ math] tiene grado [math] n [/ math]. Entonces [matemáticas] m + n = 6 [/ matemáticas].

Defina [math] S_1 = \ {t: u (t) = \ pm 1 \} [/ math] y [math] S_2 = \ {t: v (t) = \ pm 1 \} [/ math]. Como [math] u (x) [/ math] tiene como máximo [math] m [/ math] raíces reales y [math] v (x) [/ math] tiene como máximo [math] n [/ math] raíces reales , se deduce que [matemáticas] | S_1 | + | S_2 | \ le 12 [/ matemáticas].

• Cualquier número entero [matemática] k [/ matemática] tal que [matemática] p (k) = \ pm 1 [/ matemática] contribuye [matemática] 2 [/ matemática] a [matemática] | S_1 | + | S_2 | [/matemáticas].

• Cualquier número entero [matemática] k [/ matemática] tal que [matemática] p (k) [/ matemática] sea primo contribuye [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] | S_1 | + | S_2 | [/matemáticas].

Ahora [matemáticas] p (-1) = p (0) = p (1) = 1 [/ matemáticas].

[matemáticas] p (2) = 37, p (-3) = 937, p (4) = 3121. [/matemáticas]

[matemáticas] p (5) = 12601, p (-6) = 54181. [/matemáticas]

[matemáticas] p (-8) = 294337, p (-9) = 589681. [/matemáticas]

De ello se deduce que [matemática] x ^ 6-x ^ 5 + x ^ 3-x ^ 2 + 1 [/ matemática] no se puede factorizar más.

No intentes esto en la escuela.

Answer 3

La forma “sin trampa” sería hacer esto:
[matemáticas] x ^ 8 + x + 1
= (x ^ 8 + x ^ 7 + x ^ 6 + x ^ 5 + \ cdots + x + 1) [/ math] [math] {} – x ^ 2 (x ^ 5 + x ^ 4 + \ cdots + x + 1) [/ matemáticas]

La primera parte se puede agrupar muy bien en tres, como la segunda parte. Entonces
[matemáticas] x ^ 8 + x + 1
= (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 6 + x ^ 3 + 1) [/ matemáticas] [matemáticas] {} – x ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 3 + 1) .[/matemáticas]

A partir de este momento, estoy seguro de que puedes terminar.

Pero el factor [matemáticas] x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas] puede predecirse. Si piensa en el módulo de congruencia un polinomio , ya que [matemática] x ^ 3-1 = (x-1) (x ^ 2 + x + 1) [/ matemática] tenemos [matemática] x ^ 3 \ equiv 1 \ pmod {x ^ 2 + x + 1} [/ matemáticas] y luego [matemáticas] x ^ 8 + x + 1 \ equiv (x ^ 3) ^ 2x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas] [matemáticas] {} \ equiv 1 ^ 2x ^ 2 + x + 1 [/ matemática] [matemática] {} \ equiv x ^ 2 + x + 1 \ equiv 0 \ pmod {x ^ 2 + x + 1} [/ matemática]. Entonces, con eso en mente, supe de inmediato que [matemáticas] x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas] era uno de los factores.

Answer 4

[matemáticas] x ^ 8 + x + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] = (x ^ 8-x ^ 2) + (x ^ 2 + x + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = x ^ 2 (x ^ 6-1) + (x ^ 2 + x + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = x ^ 2 (x ^ 3 + 1) (x ^ 3-1) + (x ^ 2 + x + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = x ^ 2 (x ^ 3 + 1) (x-1) (x ^ 2 + x + 1) + (x ^ 2 + x + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 2 (x ^ 3 + 1) (x-1) +1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 2 (x ^ 4-x ^ 3 + x-1) +1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 6-x ^ 5 + x ^ 3-x ^ 2 + 1) [/ matemáticas]

Answer 5

Una forma que se usa principalmente para demostrar que un polinomio no se puede factorizar es tratar de demostrar que no se puede factorizar en el campo 2 (todos los coeficientes se calculan mod 2).
Para hacerlo, debe verificar en este caso si está dividido por un polinomio primitivo (un polinomio que no puede factorizarse) de grado como máximo 4 en este campo.
Eso no es tan difícil ya que hay 6 polinomios primitivos para verificar:
[matemática] x + 1 [/ matemática], [matemática] x ^ 2 + 1 [/ matemática], [matemática] x ^ 3 + x + 1 [/ matemática], [matemática] x ^ 3 + x ^ 2 + 1 [/ matemática], [matemática] x ^ 4 + x + 1 [/ matemática], [matemática] x ^ 4 + x ^ 3 + 1 [/ matemática]

y eventualmente [matemáticas] x ^ 8 + x + 1 [/ matemáticas] = [matemáticas] (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 6 + x ^ 5 + x ^ 3 + x ^ 2 + 1) [/ matemáticas]
Podemos aplicar la misma metodología al segundo factor, pero resulta ser primitivo. Esta factorización no prueba nada, pero solo da una pista de que [matemáticas] x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] x ^ 6 + x ^ 5 + x ^ 3 + x ^ 2 + 1 [/ matemáticas] son ​​factores.

Eso no es necesariamente cierto, pero es cierto en este caso ya que
[matemáticas] x ^ 8 + x + 1 [/ matemáticas] = [matemáticas] (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 6-x ^ 5 + x ^ 3-x ^ 2 + 1) [/ matemáticas]
y la metodología anterior se puede usar para demostrar que
[matemáticas] x ^ 6-x ^ 5 + x ^ 3-x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]
no se puede factorizar más

Answer 6

[matemáticas] x ^ 8 + x + 1 [/ matemáticas]

como nuestro amigo – Awnon Bhowmik respondió por ti

el factor [matemática] x ^ 2 + x + 1 [/ matemática] es un factor muy común en polinomio: suma / diferencia de “dos cubos”

Sumamos y restamos [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] como lo hizo

Que es: [matemáticas] x ^ 8 – x ^ 2 + [x ^ 2 + x + 1] [/ matemáticas]

en [matemática] x ^ 6 – 1 [/ matemática] que es un producto de Cubos de suma y diferencia [matemática] (x ^ 3 + 1) (x ^ 3 – 1) [/ matemática]

---

La única diferencia es que me gustaría desglosarlo de esta manera:

[matemáticas] [(x ^ 2 + x + 1)] \ [((x-1) (x + 1) (x ^ 2 – x + 1)) + 1] [/ matemáticas]

Desearía no querer generalizar aún más el Polinomio a la teoría de Números ni a Mod, que es una prueba tan sólida de Pure Mathematic /. solo quiero mostrar todas las raíces del factor.

Imagínese si la aproximación x a un valor superior del resto 1 MOD ([matemática] (x ^ 2 + x + 1) [/ matemática]) podría ignorarse en Ingeniería Aplicada y Ciencias de la Computación; esta es una de las pruebas de redundancia que (I ) han estudiado en el curso “Transmisión de datos” a nivel universitario en el Departamento de Ingeniería de Telecomunicaciones /

Ese resto 1 MOD [matemática] (x ^ 2 + x + 1) [/ matemática] es adecuado para pasar una prueba de transmisión o incluso en el diseño óptico de lentes rápidas APO.

Atentamente

Jung

Ene. De 2017

Answer 7

Podemos usar la tercera raíz de la unidad [matemáticas] \ omega [/ matemáticas]. Sea [math] f (x) = x ^ 8 + x + 1. [/ math] Entonces, [math] f (\ omega) = w ^ 2 + w + 1 = 0 [/ math]. Entonces tenemos: [matemática] x ^ 8 + x + 1 = (x ^ 2 + x + 1) p (x) [/ matemática] y usted puede descubrir [matemática] p (x) [/ matemática] con algunos buena y larga división de polinomios.

Answer 8

Deje [math] \ large \ boxed {f (x) = x ^ 8 + x + 1 = x ^ 8-x ^ 2 + x ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 (x ^ 6–1) + x ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 (x ^ 3 + 1) (x ^ 3–1) + x ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 (x ^ 3 + 1) (x-1) (x ^ 2 + x + 1) + x ^ 2 + x + 1 = (x ^ 2 + x + 1) [x ^ 2 (x ^ 3 + 1) (x-1) +1] = (x ^ 2 + x + 1) [(x ^ 5 + x ^ 2) (x-1) +1] = (x ^ 2 + x + 1) [x ^ 6 + x ^ 3-x ^ 5-x ^ 2 + 1 ] = (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 6-x ^ 5 + x ^ 4-x ^ 2 + 1)} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] \ large \ boxed {f (x) = (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 6-x ^ 5 + x ^ 4-x ^ 2 + 1)} [/ math]

Answer 9

Sujith Vijay proporcionó esta prueba. (x ^ 6-x ^ 5 + x ^ 3-x ^ 2 +1) (x ^ 2 + x + 1)

Pon x = 10

X

=

10

. Obtienes 100000011

100000011

. Y eso es decimal, no binario.

Ahora, ¿cómo se factoriza eso? Bueno, es 99999999 + 12

99999999

+

12

. O 99999900 + 111

99999900

+

111

. ¡Ajá! Entonces es un múltiplo de 111

111

.

100000011 = 111 × 900901

100000011

=

111

×

900901

.

Por supuesto, 111

111

es realmente 100 + 10 + 1

100

+

10

+

1

y 900901

900901

es realmente 1000000−10000 + 1000−100 + 1

1000000

–

10000

+

1000

–

100

+

1

.

Por lo tanto, los factores son x2 + x + 1

X

2

+

X

+

1

y x6 − x5 + x3 − x2 + 1

X

6 6

–

X

5 5

+

X

3

–

X

2

+

1

.

Multiplica los dos, y obtienes x8 + x + 1

X

8

+

X

+

1

. En este punto, la solución es tan rigurosa como cualquiera.

Answer 10

Otra forma … conecte la fórmula a Wolfram | Alpha Widgets
hmmm … exactamente lo que hace trampa al factorizar?

Podría usar un programa para dividirlo en sus raíces complejas, y luego escribir un pequeño programa para ejecutar todas las combinaciones de productos, buscando los que tengan todos los coeficientes enteros …

Answer 11

Una forma: sume y reste x ^ 2 y observe que x ^ 2 + x + 1 es un factor de x ^ 8 – x ^ 2 = x ^ 2 (x ^ 6 – 1) = x ^ 2 (x ^ 3 – 1) (x ^ 3 + 1).

Otra forma: use el teorema del factor para realizar el factor de x ^ 2 + x + 1. Es decir, si w es una raíz de w ^ 2 + w + 1, entonces w es una raíz cúbica de la unidad, y por lo tanto w ^ 8 = w ^ 2 * (w ^ 3) ^ 2 = w ^ 2, por lo tanto w ^ 8 + w + 1 = w ^ 2 + w + 1 = 0.

Answer 12

Desea factorizar x ^ 8 + x + 1.

Desea factorizar esto para dos términos en dos binomios separados; El primer término en cada binomio debe ser x ^ 4. Para encontrar el segundo término, debes encontrar dos números que multiplicados juntos hacen +1 pero sumados hacen 0. Solo hay dos formas de factorizar +1:
1 * 1

-1 * -1

Desafortunadamente, ninguno de estos trabajos, por lo que no puede factorizar esta expresión algebraica.