Esta pregunta me ayudó a aprender más sobre las funciones, lo que me permitió agregar algo a mi conocimiento limitado del cálculo (12th + JEE), ¡así que gracias!
Primero dividiremos las 2 integrales
[matemáticas] I = \ displaystyle \ int_1 ^ 2 \ dfrac {e ^ x} {x} \, dx + \ displaystyle \ int_1 ^ 2 \ dfrac {e ^ {- \ frac {2} {x}}} {x } \, dx = I_1 + I_2 [/ math]
Ahora sabemos que [math] \ frac {e ^ x} {x} [/ math] no tiene una integral directa. Pero hay una integral especial que se asigna a esto representada por Ei (x) .
- En una gráfica del ángulo de lanzamiento de una canica (eje x) versus la distancia horizontal (eje y), ¿qué representa la pendiente de la línea que mejor se ajusta?
- ¿Es legítimo decir que [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} {\ frac {f (x)} {x}} = 1 [/ matemáticas] puede escribirse como [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0 } {f (x)} = x [/ matemáticas]? ¿Por qué?
- ¿Puede resolver (paso a paso) la siguiente desigualdad: [matemáticas] \ sqrt {2x ^ 2-5x}> -x ^ 2 + 2x -1 [/ matemáticas]?
- ¿Cómo se prueba esto? [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ frac {dx} {\ sqrt {\ ln {(- \ ln {x)}}}} = \ sqrt {\ pi} [/ math]
- ¿Qué es 6 + 2 + 6 + 3-1 * 0 =?
Esto se obtiene usando la expansión de Taylor de la función exponencial y luego integrándola. Para ilustrar lo que quiero decir:
[matemáticas] e ^ x = 1 + x + \ dfrac {x ^ 2} {2!} + \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 4} {4!} +… .. [/matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ dfrac {e ^ x} {x} = \ dfrac {1} {x} + 1 + \ dfrac {x} {2!} + \ dfrac {x ^ 2} {3!} + \ dfrac {x ^ 3} {4!} +…. [/ matemáticas]
Entonces integrando ambos lados obtendremos:
[matemáticas] Ei [/ matemáticas] [matemáticas] (x) = \ displaystyle \ int \ dfrac {e ^ x} {x} \, dx [/ matemáticas]
[matemáticas] = log (x) + x + \ dfrac {x ^ 2} {2.2!} + \ dfrac {x ^ 3} {3.3!} +… [/ matemáticas]
Entonces obtenemos [matemáticas] I_1 = Ei (2) – Ei (1) [/ matemáticas]
Ahora es el momento de resolver [matemáticas] I_2 [/ matemáticas]
Haciendo una sustitución
[matemáticas] – \ dfrac {2} {x} = t [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ dfrac {2} {x ^ 2} \, dx = dt [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica dx = \ dfrac {2} {t ^ 2} \, dt [/ matemáticas]
También los límites correspondientes cambian de -2 a -1
Sustituyendo obtenemos:
[matemáticas] I_2 = \ displaystyle \ int _ {- 2} ^ {- 1} \ dfrac {2} {t ^ 2} × \ displaystyle \ left (- \ dfrac {t} {2} \ right) × e ^ t \, dt [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica I_2 = – \ displaystyle \ int _ {- 2} ^ {- 1} \ dfrac {e ^ t} {t} \, dt [/ math]
Entonces ahora obtenemos la función similar de Ei (x)
[matemáticas] \ implica I_2 = – [Ei (-1) – Ei (-2)] [/ matemáticas]
Entonces, finalmente, después de agregar obtenemos la integral como:
[matemáticas] \ en caja {I = Ei (2) + Ei (-2) -Ei (1) -Ei (-1)} [/ matemáticas]
Y cuando estos valores se sustituyen, obtenemos el valor aproximadamente como
I = 3.2296
¡Espero eso ayude!
Editar: Gracias a Amit Kenkre y Yashee Sinha por la corrección