Cómo resolver la Exp. Primitiva ((2i + 1) x

Answer 1

Para integrar [math] \ displaystyle \ int \ mathrm {e} ^ {\ left (1 + 2 \ mathrm {i} \ right) x} dx [/ math] necesitamos dos pasos:

Primero usando la fórmula de Euler

[matemáticas] \ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ left (1 + 2 \ mathrm {i} \ right) x} = \ left (\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n } {n!} \ right) \ left (\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ left (2x \ right) ^ n \ mathrm {i} ^ n} {n!} \ right) = \ mathrm {e} ^ {x} \ left (\ cos \ left (2x \ right) + \ mathrm {i} \ sin \ left (2x \ right) \ right) [/ math]

la integral compleja se convierte

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ mathrm {e} ^ {\ left (1 + 2 \ mathrm {i} \ right) x} dx = \ int \ mathrm {e} ^ {x} \ cos \ left (2x \ derecha) + \ mathrm {i} \ int \ mathrm {e} ^ {x} \ sin \ left (2x \ right) dx [/ math]

entonces usamos la integración por partes para obtener

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ mathrm {e} ^ {\ left (1 + 2 \ mathrm {i} \ right) x} dx = \ int \ mathrm {e} ^ {x} \ cos \ left (2x \ derecha) + \ mathrm {i} \ int \ mathrm {e} ^ {x} \ sin \ left (2x \ right) dx = \ frac {1} {5} \ mathrm {e} ^ x \ left (2 \ sin \ left (2x \ right) + \ cos \ left (2x \ right) \ right) – \ mathrm {i} \ frac {1} {5} \ mathrm {e} ^ x \ left (2 \ cos \ left (2x \ right) – \ sin \ left (2x \ right) \ right) + C + \ mathrm {i} C [/ math]

para que la respuesta se simplifique

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ mathrm {e} ^ {\ left (1 + 2 \ mathrm {i} \ right) x} dx = \ mathrm {e} ^ {x} \ frac {1} {5} \ left (2 \ sin \ left (2x \ right) -2 \ mathrm {i} \ cos \ left (2x \ right) + \ cos \ left (2x \ right) + \ mathrm {i} \ sin \ left (2x \ right) \ right) + C + \ mathrm {i} C = \ frac {1- \ mathrm {i} 2} {5} \ mathrm {e} ^ x \ mathrm {e} ^ {\ left (2 \ mathrm {i} \ right) x} + \ mathrm {e} ^ {i \ delta} = \ boxed {\ boxed {\ frac {1- \ mathrm {i} 2} {5} \ mathrm {e} ^ {\ izquierda (1 + 2 \ mathrm {i} \ right) x} + \ mathrm {e} ^ {\ delta \ mathrm {i}}}} [/ math]

dónde

[math] \ mathrm {e} ^ {\ delta \ mathrm {i}} = C + \ mathrm {i} C = \ cos \ delta + \ mathrm {i} \ sin \ delta [/ math]

Answer 2

[matemáticas] \ frac {1} {2i + 1} e ^ {(2i + 1) x} = \ frac {2i-1} {5} e ^ {(2i + 1) x} [/ matemáticas]

Básicamente, todo lo que tiene que hacer es dividir por la derivada del exponente, siempre funciona si esa derivada es una constante.