Supongamos que Sn = n ^ 2 + 20n + 12, n es un número entero positivo, ¿cuál es la suma de todos los valores posibles de n de modo que Sn sea un cuadrado perfecto?

Answer 1

* A2A

Establecimos una ecuación como la siguiente …

[matemáticas] \ begin {align} n ^ 2 + 20n + 12 & = k ^ 2 \\ (n + 10) ^ 2-88 & = k ^ 2 \\ (n + 10) ^ 2-k ^ 2 & = 88 \ \ (n + 10 + k) (n + 10-k) & = 88 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Ahora esto se convierte en una pregunta de teoría de números. Requerimos los factores de [matemáticas] 88 [/ matemáticas]. Es seguro asumir [math] (n + 10 + k)> (n + 10-k) [/ math] ya que [math] n, k \ in \ Z [/ math]

Entonces, podemos escribir lo siguiente …

[matemáticas] \ begin {align} (n + 10 + k) (n + 10-k) & = \ left \ {(88,1), (44,2), (22,4), (11,8 ) \ right \} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Ahora, observe con cuidado.

• ¿Qué sucede cuando sumas los números del lado izquierdo?
• Si sumamos [matemáticas] (n + 10 + k) + (n + 10-k) = 2n + 10 = 2 (n + 5) [/ matemáticas]
• Si restamos, obtenemos [matemáticas] (n + 10 + k) – (n + 10-k) = 2k [/ matemáticas]
• Recuerde que no estamos buscando encontrar [matemáticas] k [/ matemáticas]

Por lo tanto, el número en el lado derecho debe ser par. Esta observación reduce nuestra carga de trabajo a lo siguiente …

[matemáticas] \ begin {align} (n + 10 + k) (n + 10-k) & = \ left \ {(44,2), (22,4) \ right \} \ end {align} \ tag *{}[/matemáticas]

---

[matemáticas] \ begin {array} {c | c} n + 10 + k = 44 & n + 10 + k = 22 \\ n + 10-k = 2 & n + 10-k = 4 \\\ hline2n + 20 = 46 & 2n + 20 = 26 \\ 2n = 26 & 2n = 6 \\ n = 13 & n = 3 \ end {array} \ tag * {} [/ math]

Por lo tanto, la suma de todas las posibles [matemáticas] n [/ matemáticas] de modo que [matemáticas] S_n [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto es [matemáticas] 13 + 3 = \ boxed {16} \ tag * {} [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] S (n) = n ^ 2 + 20n + 12 [/ matemáticas]

[matemáticas] = n ^ 2 + 20n + 100 – 88 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (n + 10) ^ 2 – 88 [/ matemáticas]

Deje [matemáticas] n + 10 = a [/ matemáticas]

Ahora necesitamos resolver [matemáticas] a ^ 2 – 88 = m ^ 2 [/ matemáticas] en los enteros.

[matemáticas] \ Longrightarrow a ^ 2 – m ^ 2 = 88 [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + m) (a – m) = 88 = 2 ^ 3 \ veces 11 [/ matemáticas]

Sea [math] a + m = k; [/ math] donde [math] k [/ math] es cualquier factor de [math] 88 [/ math]

[matemáticas] \ Longrightarrow = a – m = \ frac {88} {k} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Longrightarrow a = \ frac {k} {2} + \ frac {44} {k}; m = \ frac {k} {2} – \ frac {44} {k} [/ math]

Debido a que [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] m [/ matemáticas] deben ser números enteros, [matemáticas] k [/ matemáticas] debe ser par y [matemáticas] k [/ matemáticas] no puede ser [matemáticas] 88. [/matemáticas]

Por lo tanto, los valores posibles de [matemáticas] k [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] 2, 4, 8, 22 [/ matemáticas] y [matemáticas] 44. [/ Matemáticas]

Sin embargo, tenga en cuenta que [matemáticas] k = a + m = n + 10 + m> 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Longrightarrow k = 22 [/ matemáticas] o [matemáticas] 44. [/ matemáticas]

Si [matemáticas] k = 22, [/ matemáticas]

[matemáticas] a = \ frac {22} {2} + \ frac {44} {22} = 11 + 2 = 13 [/ matemáticas]

[matemática] \ Longrightarrow n = a – 10 = 13-10 = 3 [/ matemática]

Si [matemáticas] k = 44, a = \ frac {44} {2} + \ frac {44} {44} = 22 + 1 = 23 [/ matemáticas]

[matemática] \ Longrightarrow n = a – 10 = 23-10 = 13 [/ matemática]

[math] \ Longrightarrow [/ math] Suma de todos los valores posibles de [math] n = 3 + 13 = 16 [/ math]