¿Cuál es la suma de un número impar consecutivo que es igual a veinte?

Answer 1

Sea [math] a [/ math] el primer término en un AP [math] n [/ math] -term que consiste en términos impares consecutivos con suma [math] 20 [/ math]. Entonces [math] a [/ math] es impar , y dado que la suma es par, [math] n [/ math] es par .

Sumar los términos en un AP da [matemática] n (a + n-1) = 20 [/ matemática]. Como ambos [matemática] n [/ matemática], [matemática] a + n-1 [/ matemática] son pares , las únicas posibilidades son [matemática] n = 2 [/ matemática], [matemática] a + n-1 = 10 [/ matemática] y [matemática] n = 10 [/ matemática], [matemática] a + n-1 = 2 [/ matemática]. El primero de ellos da [matemáticas] a = 9 [/ matemáticas] [matemáticas] (9 + 11) [/ matemáticas], el segundo da [matemáticas] a = -7 [/ matemáticas] [matemáticas] \ big ((- 7) + \ cdots + 11 \ big) [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

9 + 11

Esta es la única respuesta!

Como el resultado que deseamos obtener es 20, entonces requerimos un número par de números impares para alcanzar nuestro total. Como estos también deben ser consecutivos, el promedio de [matemática] n [/ matemática] números impares consecutivos debe ser igual a [matemática] \ frac {20} {n} [/ matemática]. Esto significa que podemos probar [matemáticas] n = 2,4,6, … [/ matemáticas] hasta que no podamos ir más allá.

[matemática] n = 2: [/ matemática] dividir 20 entre 2 da 10. Entonces nuestros números impares consecutivos son 9 y 11 .

[matemática] n = 4: [/ matemática] dividir 20 entre 4 da 5, ya que esto es extraño, no hay 4 probabilidades consecutivas que promedien 5.

[matemática] n = 6: [/ matemática] Claramente 20 dividido por 6 no es integerico, por lo que no funciona. Esto también es cierto para cada [matemática] n [/ matemática] después de 6, excepto 10 y 20, pero claramente la suma de las 10 (o 20) probabilidades más pequeñas va a ser mayor que 20.

Por lo tanto, la solución única es 9 + 11

* Suponiendo que los números impares son estrictamente positivos. De lo contrario, [matemática] n = 10 [/ matemática] también funciona, ya que puede tener probabilidades de [matemática] -7 [/ matemática] a [matemática] 11 [/ matemática] , y cada impar negativa se combina con una positiva que cancela fuera a dar la otra respuesta.

Answer 3

Deje 2n + 1 igual al primer número impar, y …
Deje que 2n + 3 sea igual al segundo número impar, donde n es un número entero.
Como la suma de estos dos números impares consecutivos es 20, podemos escribir la siguiente ecuación:
(2n + 1) + (2n + 3) = 20
Recopilando términos similares, tenemos:
(2n + 2n) + (1 + 3) = 20
4n + 4 = 20
Ahora, resolviendo para n:
4n + 4 – 4 = 20 – 4
4n = 16
4n / 4 = 16/4
n = 4
Ahora, sustituyendo, obtenemos:
2n + 1 =
2 (4) + 1 =
8 + 1 =
9 es el primer número impar.
2n + 3 =
2 (4) + 3 =
8 + 3 =
11 es el segundo número impar.
Cheque:
(2n + 1) + (2n + 3) = 20
9 + 11 = 20
20 = 20

Answer 4

Suponga que el número de enteros impares que contribuye a [matemáticas] 20 [/ matemáticas] es [matemáticas] 2k [/ matemáticas] y que su media es [matemáticas] n [/ matemáticas]. Escribir la suma da como resultado la ecuación [matemática] 2kn = 20 [/ matemática] de la cual [matemática] n = \ dfrac {10} {k} [/ matemática]. Pero n debe ser así, las [matemáticas] k [/ matemáticas] que funcionan son [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 5 [/ matemáticas] dando [matemáticas] n = 10 [/ matemáticas] y [ matemática] 2 [/ matemática] y arrojando las sumas, [matemática] 9 + 11 [/ matemática] y [matemática] -7 + -5 + -3 + -1 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11. [/matemáticas]