Una pregunta muy interesante que me obligó a dejar mi sillón reclinable en la oficina y profundizar en las teorías básicas de Mecánica, Tensión, etc. ¡Ah! El mundo de los diagramas de cuerpo libre, movimiento, energía y … sueños adolescentes …;)
Bueno, una cadena suspendida de dos soportes toma la forma de lo que se llama una ” Catenaria “. Parece una parábola, pero no es exactamente una parábola.
Ahora bien, ¿qué es una catenaria?
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Wiki dice ” En física y geometría, una catenaria es la curva que una cadena o cable colgante idealizado asume bajo su propio peso cuando se apoya solo en sus extremos.
La curva catenaria tiene una forma de U, superficialmente similar en apariencia a una parábola, pero no es una parábola.
También se considera un gráfico escalado y rotado de la función del coseno hiperbólico “.
¡Esto lo vemos con mayor frecuencia en cables de energía eléctrica, puentes colgantes y telas de araña !
De hecho, los arcos catenarios invertidos tienen varias aplicaciones en la construcción de hornos . Para crear la curva deseada, la forma de una cadena colgante de las dimensiones deseadas se transfiere a una forma que luego se usa como guía para la colocación de ladrillos u otro material de construcción.
En las cadenas que cuelgan libremente, la fuerza ejercida es uniforme con respecto a la longitud de la cadena, por lo que la cadena sigue la curva catenaria. Lo mismo se aplica a un simple puente colgante o “puente catenario”, donde la carretera sigue el cable.
Un puente de cinta estresado es una estructura más sofisticada con la misma forma de catenaria.
Sin embargo, en un puente colgante con una carretera suspendida, las cadenas o cables soportan el peso del puente y, por lo tanto, no se cuelgan libremente. En la mayoría de los casos, la carretera es plana, por lo que cuando el peso del cable es insignificante en comparación con el peso que se soporta, la fuerza ejercida es uniforme con respecto a la distancia horizontal, y el resultado es una parábola, como se analiza a continuación (aunque el término ” catenaria “a menudo todavía se usa, en un sentido informal). Si el cable es pesado, entonces la curva resultante es entre una catenaria y una parábola.
Ahora, ¿por qué sucede esto?
En el modelo matemático, la cadena (o cable, cable, cuerda, cuerda, etc.) se idealiza suponiendo que es tan delgada que puede considerarse como una curva y que es tan flexible cualquier fuerza de tensión ejercida por la cadena Es paralelo a la cadena.
Entonces, para los legos como yo, es el resultado del tirón gravitacional y la tensión de la cuerda.
Para los expertos, por supuesto, esta es la ecuación matemática (¡de wiki nuevamente!)
Deje que el camino seguido por la cadena se dé paramétricamente por r = ( x , y ) = ( x ( s ), y ( s )) donde s representa la longitud del arco y r es el vector de posición. Esta es la parametrización natural y tiene la propiedad de que
[matemáticas] {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {ds}} = \ mathbf {u}} [/ math]
donde u es un vector tangente unitario.
Diagrama de fuerzas que actúan sobre un segmento de una catenaria de c a r . Las fuerzas son la tensión T 0 en c , la tensión T en r y el peso de la cadena (0, – λgs ). Como la cadena está en reposo, la suma de estas fuerzas debe ser cero.
Una ecuación diferencial para la curva se puede derivar de la siguiente manera.
[43]
Sea c el punto más bajo de la cadena, llamado vértice de la catenaria.
[44]
La pendiente dy / dx de la curva es cero en C ya que es un punto mínimo. Suponga que r está a la derecha de c ya que el otro caso está implicado por simetría. Las fuerzas que actúan sobre la sección de la cadena de c a r son la tensión de la cadena en c , la tensión de la cadena en r y el peso de la cadena. La tensión en c es tangente a la curva en c y, por lo tanto, es horizontal sin ningún componente vertical y tira de la sección hacia la izquierda para que pueda escribirse (- T 0, 0) donde T 0 es la magnitud de la fuerza. La tensión en r es paralela a la curva en r y tira de la sección hacia la derecha. La tensión en r puede dividirse en dos componentes, por lo que puede escribirse T u = ( T cos φ , T sin φ ), donde T es la magnitud de la fuerza y φ es el ángulo entre la curva en r y la x- eje (ver ángulo tangencial). Finalmente, el peso de la cadena está representado por (0, – λgs ) donde λ es la masa por unidad de longitud, g es la aceleración de la gravedad y s es la longitud del segmento de la cadena entre c y r .
La cadena está en equilibrio, por lo que la suma de tres fuerzas es 0 , por lo tanto
[matemáticas] {\ displaystyle T \ cos \ varphi = T_ {0}} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] {\ displaystyle T \ sin \ varphi = \ lambda gs \ ,,} [/ matemáticas]
y dividiendo estos da
[matemáticas] {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ tan \ varphi = {\ frac {\ lambda gs} {T_ {0}}} \ ,.} [/ math]
Es conveniente escribir
[matemáticas] {\ displaystyle a = {\ frac {T_ {0}} {\ lambda g}}} [/ matemáticas]
que es la longitud de la cadena cuyo peso es igual en magnitud a la tensión en c .
[45]
Entonces
[matemáticas] {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {s} {a}}} [/ matemáticas]
Es una ecuación que define la curva.
La componente horizontal de la tensión, T cos φ = T 0 es constante y la componente vertical de la tensión, T sin φ = λgs es proporcional a la longitud de la cadena entre r y el vértice.
[46]
Derivación de ecuaciones para la curva [ editar ]
La ecuación diferencial dada anteriormente se puede resolver para producir ecuaciones para la curva.
[47]
De
[matemáticas] {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {s} {a}} \ ,,} [/ matemáticas]
la fórmula para la longitud del arco da
[matemáticas] {\ displaystyle {\ frac {ds} {dx}} = {\ sqrt {1+ \ left ({\ dfrac {dy} {dx}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac { \ sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}} {a}} \ ,.} [/ math]
Entonces
[matemáticas] {\ displaystyle {\ frac {dx} {ds}} = {\ frac {1} {\ frac {ds} {dx}}} = {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}}}} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] {\ displaystyle {\ frac {dy} {ds}} = {\ frac {\ frac {dy} {dx}} {\ frac {ds} {dx}}} = {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}}} \ ,.} [/ math]
La segunda de estas ecuaciones se puede integrar para dar
[matemáticas] {\ displaystyle y = {\ sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}} + \ beta} [/ matemáticas]
y cambiando la posición del eje x, β puede tomarse como 0. Entonces
[matemáticas] {\ displaystyle y = {\ sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}} \ ,, \ quad y ^ {2} = a ^ {2} + s ^ {2} \ ,. }[/matemáticas]
El eje x así elegido se llama directriz de la catenaria.
Se deduce que la magnitud de la tensión en un punto ( x , y ) es T = λgy , que es proporcional a la distancia entre el punto y la directriz.
[46]
La integral de la expresión para dx / ds se puede encontrar utilizando técnicas estándar, dando
[48]
[matemáticas] {\ displaystyle x = a \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {s} {a}} \ right) + \ alpha \ ,.} [/ math]
y, nuevamente, al cambiar la posición del eje y, se puede considerar que α es 0. Entonces
[matemáticas] {\ displaystyle x = a \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {s} {a}} \ right) \ ,, \ quad s = a \ sinh \ left ({\ frac {x} { a}} \ right) \ ,.} [/ math]
El eje y así elegido pasa a través del vértice y se llama eje de la catenaria.
Estos resultados se pueden usar para eliminar las donaciones
[matemáticas] {\ displaystyle y = a \ cosh \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) \ ,.} [/ math]