Definiré la serie geométrica como esta:
[matemáticas] a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 + \ cdots [/ matemáticas]
Donde [math] a [/ math] es el primer término, y [math] r [/ math] es la razón común.
Primero, puede factorizar [matemáticas] a [/ matemáticas].
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[matemáticas] a (1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 + \ cdots) [/ matemáticas]
Definiré el contenido del paréntesis como una variable.
[matemáticas] x = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 + \ cdots [/ matemáticas]
[math] x [/ math] convergerá si [math] -1 <r <1 [/ math], en ese caso:
[matemáticas] rx = r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 + \ cdots [/ matemáticas]
Ahora podemos restar
[matemáticas] x-rx = 1 + (rr) + (r ^ 2 – r ^ 2) + (r ^ 3 – r ^ 3) + \ cdots [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que le da un montón de ceros, por lo que esto se simplifica a:
[matemáticas] x (1-r) = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ frac {1} {1-r} [/ matemáticas]
Volviendo a la serie original:
[matemáticas] a \ izquierda (\ frac {1} {1-r} \ derecha) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {a} {1-r} [/ matemáticas]
Por lo tanto, suponiendo [matemáticas] -1 <r <1 [/ matemáticas],
[matemáticas] a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 + \ cdots = \ dfrac {a} {1-r} [/ math]