En primer lugar, hay un error en la pregunta: la ecuación de línea debe ser lx + my + n = 0.
La parte hermosa de la geometría de coordenadas en dos coordenadas es que es una representación algebraica de la geometría euclidiana en una superficie plana. Por lo tanto, puede cambiar entre representaciones euclidianas y coordinadas, al tiempo que conserva la esencia del problema.
x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 representa un círculo con el centro en el origen (0,0) y el radio a.
Sabemos por geometría euclidiana que una tangente a un círculo en el punto es perpendicular a la línea que une el punto con el centro del círculo.
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Por lo tanto, para que una línea toque un círculo, la longitud de la perpendicular (L) dibujada desde el centro del círculo hasta la línea debe ser igual al radio (r).
Es fácil demostrar que la longitud de la perpendicular caída desde un punto (x1, y1) a la línea lx + my = n es | lx1 + my1 + n | / sqrt (l ^ 2 + m ^ 2) (de hecho es un resultado estándar en geometría coordinada).
En este caso, la longitud de la perpendicular (L) es | l.0 + m.0 + n | / sqrt (l ^ 2 + m ^ 2) o | n | / sqrt (l ^ 2 + m ^ 2) .
Por lo tanto,
Para que lx + my + n sea tangente al círculo dado,
| n | / sqrt (l ^ 2 + m ^ 2) = a
Cuadrando ambos lados, obtenemos
n ^ 2 = a ^ 2 (l ^ 2 + m ^ 2)
