Me gusta la respuesta de Roman Andronov a esta pregunta, es muy exhaustiva. Sin embargo, hay una discusión interesante aquí, ya que el primer borrador de su respuesta tenía un sutil error.
Lo curioso es que sabía que el error tenía que estar allí antes de averiguar exactamente dónde estaba. La razón de esto fue porque la prueba original no mencionaba el Postulado Paralelo en ninguna parte, y sabía que eso era imposible. Lo más divertido es que sabía que si se agregaba el Postulado Paralelo, entonces tenía que ser posible una prueba similar a la que estaba hablando, y sabía que ese era el caso sin siquiera saber cuáles eran los detalles de eso. prueba sería. Esto me llevó a una curiosa madriguera de conejos que involucra transformaciones fraccionales lineales y teoría de modelos.
Entonces, mi objetivo general para esta publicación es
- para encontrar un buen conjunto de axiomas para el plano euclidiano desde el cual es posible demostrar que para cualquiera de los tres puntos distintos y no colineales existe un círculo único que los atraviesa, y
- para demostrar que el axioma que captura lo que Euclides sabía como el Postulado Paralelo es de hecho necesario para la prueba.
Sin embargo, comenzamos hablando de algo que puede parecer completamente ajeno: transformaciones fraccionales lineales.
- Recordando que pi es irracional, ¿un círculo dibujado por una brújula es erróneo en comparación con el círculo perfecto? ¿El error aumenta con un radio mayor?
- ¿Cuál es la fórmula para calcular el radio de la Tierra?
- ¿Cómo sabemos qué estructura tiene una dimensión?
- Cuando dos cantidades son inversamente proporcionales entre sí, ¿por qué el gráfico es una curva? ¿No debería ser una línea recta que baja hacia el eje X?
- ¿Cómo encuentro las posibles coordenadas de R?
Una transformación fraccional lineal es un mapa de la forma [math] z \ mapsto \ frac {az + b} {cz + d} [/ math], donde [math] a, b, c, d [/ math] son complejos números tales que [math] ad – bc \ neq 0 [/ math]. Como siempre podemos reescalar [math] a, b, c, d [/ math] sin cambiar la función, a menudo asumimos que [math] ad – bc = 1 [/ math].
Si [math] c = 0 [/ math], estas son solo funciones de la forma [math] z \ mapsto \ frac {a} {d} z + \ frac {b} {d} [/ math], que es para decir combinaciones de traslaciones, rotaciones y escalas. Cuando [matemáticas] c = 1 [/ matemáticas], sin embargo, suceden cosas interesantes. Por ejemplo, obtenemos la función [math] z \ mapsto 1 / z [/ math], que hace algo un poco loco para el avión. Si el siguiente es el plano a cuadros inicial,
entonces su imagen en [math] z \ mapsto 1 / z [/ math] se verá de la siguiente manera.
¿Lo que ha sucedido? Es edificante considerar lo que sucede si quitas cualquier número complejo de distancia [matemática] r [/ matemática] del origen, en un ángulo [matemático] \ theta [/ matemático] alejado de la [matemática] + x [/ matemática]. Sabemos que cualquier punto tendrá la forma [math] z = re ^ {i \ theta} [/ math], y por lo tanto
[matemáticas] \ displaystyle re ^ {i \ theta} \ mapsto \ frac {1} {re ^ {i \ theta}} = \ frac {1} {r} e ^ {- i \ theta} \ tag * {} .[/matemáticas]
Esto muestra que [math] z \ mapsto 1 / z [/ math] hace dos cosas: mueve puntos a distancia [math] r [/ math] lejos del origen a puntos de distancia [math] 1 / r [/ math] lejos del origen, y los voltea a través del eje [math] x [/ math].
Tenga en cuenta que [math] z \ mapsto 1 / z [/ math] es casi una función invertible en el plano complejo. No es exactamente por dos razones: no está definido para [matemática] z = 0 [/ matemática] y su imagen no contiene el punto [matemática] 0 [/ matemática]. Sin embargo, a la luz de cómo sabemos que [math] z \ mapsto 1 / z [/ math] se comporta, hay una forma natural de extender la definición de [math] z \ mapsto 1 / z [/ math] para que sea Una biyección.
Específicamente, aumentamos el plano complejo regular con un único punto nuevo [math] \ infty [/ math], que consideramos que es el punto en el infinito. Con esa adición, podemos aumentar la definición de [math] \ varphi (z) = 1 / z [/ math] con
[matemáticas] \ begin {align *} \ varphi (0) & = \ infty \\ \ varphi (\ infty) & = 0 \ end {align *} \ tag * {}. [/ math]
No es difícil comprobar que con esta definición, [math] \ varphi (z) [/ math] es una función invertible en el plano complejo extendido.
Más generalmente, para cualquier transformación lineal fraccional [matemática] \ varphi (z) = \ frac {az + b} {cz + d} [/ matemática], definimos
[matemáticas] \ begin {align *} \ varphi (-d / c) & = \ infty \\ \ varphi (\ infty) & = a / c \ end {align *} \ tag * {}, [/ math]
y con esta definición, cualquier transformación se convierte en una función invertible en el plano complejo extendido.
Es un ejercicio estándar verificar que las siguientes afirmaciones son todas verdaderas para las transformaciones lineales fraccionarias.
- La composición de cualquiera de las dos transformaciones lineales fraccionarias es una transformación lineal fraccional.
- Las transformaciones lineales fraccionarias siempre envían círculos a círculos. (Con la advertencia de que pensamos que las líneas son círculos a través del punto en el infinito).
- Las transformaciones lineales fraccionales conservan los ángulos, es decir, si tengo dos curvas en el plano complejo que se encuentran en un ángulo [matemático] \ theta [/ matemático], entonces sus imágenes también se encontrarán en un ángulo [matemático] \ theta [/ matemático ]
- Dados tres puntos distintos [matemática] z_1, z_2, z_3 [/ matemática], existe una transformación lineal fraccional única que enviará estos puntos a unos tres puntos distintos [matemática] w_1, w_2, w_3 [/ matemática].
La primera afirmación es fácil de probar con álgebra pura (aunque un poco desordenada). Se puede usar para probar la segunda y la tercera afirmación, señalando que cualquier transformación lineal fraccional se puede escribir como una composición de mapas de la forma [math] z \ mapsto rz + s [/ math] y [math] z \ mapsto 1 / z [/ math]: estas afirmaciones son claramente ciertas para el primer tipo de mapa, por lo que queda por probarlas para [math] z \ mapsto 1 / z [/ math], que se puede hacer de varias maneras y No es del todo terrible. Para probar la cuarta afirmación, es suficiente mostrar que existe una transformación lineal fraccional única que envía [math] 0 \ mapsto w_1, 1 \ mapsto w_2, \ infty \ mapsto w_3 [/ math], que también puede hacerse por puro álgebra.
Usando transformaciones lineales fraccionarias, es trivial demostrar que hay un círculo único que pasa a través de tres puntos distintos no colineales en el plano euclidiano. Deje que esos puntos sean [matemática] z_1, z_2, z_3 [/ matemática]. Entonces sabemos que hay una transformación lineal fraccional que enviará [math] z_1 \ mapsto 0 [/ math], [math] z_2 \ mapsto 1 [/ math], [math] z_3 \ mapsto \ infty [/ math]. De hecho, podemos ser completamente constructivos: la transformación lineal fraccional
[matemáticas] \ varphi (z) = \ frac {(z-z_1) (z_3-z_2)} {(z-z_3) (z_1-z_2)} [/ matemáticas]
Hará precisamente esto.
Sin embargo, obviamente hay un círculo / línea único a través de los puntos [matemática] 0,1, \ infty [/ matemática], específicamente, la línea real. Pero, dado que las transformaciones lineales fraccionarias son biyectivas y envían círculos a círculos, ¡concluimos de esto que también hubo un círculo único a través de los tres puntos originales!
Los estudiantes de geometría axiomática reconocerán que algo extraño ha sucedido. Nuestro objetivo original era dar una prueba sobre el avión euclidiano, que presumiblemente debería ser descrito por algo así como los axiomas de Euclides.
Pero los axiomas de Euclides nunca hablan de funciones, ni mencionan puntos en el infinito. Si observa los axiomas de Euclides o incluso de Hilbert para la geometría plana, se dará cuenta de que el argumento ciertamente no parece que pueda formularse en los términos que esos axiomas describen. De hecho, agregar un punto al plano complejo es una construcción teórica establecida .
Por lo tanto, podríamos preocuparnos razonablemente si la prueba que dimos realmente demuestra que en el plano euclidiano tres puntos distintos no colineales tienen un círculo único a través de ellos, o si realmente hemos demostrado que esto es cierto dados algunos axiomas de la teoría de conjuntos fijos , y si cambiamos los axiomas de la teoría de conjuntos, tal vez obtendríamos otro modelo del plano euclídeo en el que esta afirmación era falsa .
Tales cosas pueden suceder. El famoso problema de Hadwiger-Nelson pregunta cuál es el número mínimo de colores necesarios para que pueda colorear el avión usando estos colores de tal manera que no haya dos puntos de distancia 1 uno del otro del mismo color. Se sabe que necesita al menos 4 colores y que obtiene una coloración de este tipo con 7 colores, pero se conjetura que el número mínimo real depende de si toma o no el axioma de elección como verdadero o no.
Por supuesto, podemos evitar este problema simplemente dando una prueba directamente de los axiomas que elijamos para el plano euclidiano, y así demostrar que la afirmación realmente no depende de la elección de los axiomas de la teoría de conjuntos: esto es precisamente lo que Roman Andronov hace en su respuesta.
¡Pero tenemos esta hermosa prueba de transformaciones fraccionales lineales! Sería una pena que se desperdicie. Afortunadamente, podemos hacer que esto funcione utilizando la teoría de modelos.
He escrito sobre la teoría de modelos antes. Vea mi respuesta a ¿Cuáles son algunos de los métodos de prueba más interesantes? Esa es una introducción útil, y recomiendo revisarla si tiene tiempo. Sin embargo, lo importante a recordar de esa respuesta es que podemos formular axiomas en términos de lógica de primer orden, y luego una realización concreta particular de esos axiomas (es decir, alguna estructura matemática que satisface esos axiomas) se conoce como modelo .
Un resultado muy útil sobre los modelos es el teorema de integridad de Gödel, que dice que si una afirmación es verdadera en todos los modelos de alguna colección de axiomas de primer orden, entonces puede probarse directamente a partir de los axiomas mismos. (Y viceversa.)
Lo que hemos demostrado es que la afirmación “Cualquiera de los tres puntos distintos y no colineales en el plano euclidiano tiene un círculo único que los atraviesa” es cierta en un modelo particular del plano euclidiano; debemos demostrar que es realmente cierto en cada modelo del avión euclidiano.
Es en este punto que los axiomas de Tarski se precipitan como las águilas de Tolkien y salvan el día. Tarski publicó estos axiomas en 1959 como un medio para describir la geometría euclidiana elemental. Son estrictamente más débiles que los axiomas de Hilbert más famosos, es decir, puedes demostrar que son estrictamente menos a partir de ellos. Sin embargo, tienen dos ventajas enormemente importantes:
- Los axiomas de Tarski se expresan en lógica de primer orden, es decir, podemos aplicarles el teorema de integridad de Gödel.
- Dada cualquier declaración en lógica de primer orden en términos de los términos básicos descritos por los axiomas de Tarski, existe un algoritmo explícito para determinar si esta declaración es verdadera o falsa.
Este algoritmo es casi completamente inútil en la práctica, porque se ejecuta en tiempo exponencial doble. Sin embargo, tiene una aplicación teórica tremenda, porque implica que cualquier afirmación tal que sea cierta en un modelo de axiomas de Tarski en realidad tiene que ser cierta en cada modelo de axiomas de Tarski.
Ahora, lo único de lo que deberíamos preocuparnos es si la declaración “Los tres axiomas de Tarski pueden capturar la declaración“ Cualquiera de los tres puntos distintos, no colineales en el plano euclidiano tiene un círculo único que los atraviesa ”. Si puede, entonces hemos terminado: ya sabemos que esta afirmación es verdadera para un modelo, por lo tanto, sabríamos que es cierto para cada modelo, por lo tanto, sabríamos que en realidad existe alguna derivación de este resultado directamente de los axiomas de Tarski . (¡Incluso si nunca lo encontramos explícitamente!)
Si observa los axiomas de Tarski, verá cuán notablemente conservador es en términos de lo que define. En particular, no utiliza la noción de círculos o incluso la distancia; en su lugar, solo define lo que significa que una colección de puntos sea congruente y lo que significa que un punto esté entre otros dos puntos. Por lo tanto, la conclusión ingenua es que los axiomas de Tarski no están a la altura.
Esto no es asi. Podemos reformular el enunciado original como el siguiente enunciado equivalente: “Para cualquiera de los tres puntos distintos A, B, C de modo que ninguno de ellos esté entre los otros dos, existe un cuarto punto O único tal que AO, BO y Los CO son todos congruentes ”. Esto está redactado completamente en términos de cosas descritas por los axiomas de Tarski, ¡y así hemos terminado!
Hasta ahora, no hemos hablado sobre el Postulado Paralelo en absoluto, y por qué es importante para la prueba. Vamos a arreglar eso.
Tarski no declara el Postulado Paralelo en su forma habitual, porque sus axiomas no incluyen una noción de líneas, pero sí incluye el Axioma de Euclides, que, con los otros axiomas, es equivalente al Postulado Paralelo. Nunca escribimos una prueba explícita de nuestra declaración de los axiomas de Tarski, por lo que podríamos legítimamente preguntarnos si dicha prueba tiene que usar el Axioma de Euclides en alguna parte. Tal vez , ese axioma puede ser omitido.
Este no es el caso: cualquier prueba de la declaración debe invocar el Axioma de Euclides en alguna parte. Para probar esto, volvamos al teorema de integridad de Gödel. Sabemos que dada cualquier colección de axiomas de primer orden y una declaración lógica en términos de los objetos descritos por esos axiomas, existe una prueba de esta declaración de los axiomas si y solo si la declaración es verdadera para cada modelo.
Entonces, lo que haremos es lo siguiente: mostraremos que si eliminas el Axioma de Euclides de los axiomas de Tarski, entonces hay un modelo de esos axiomas para los cuales nuestra afirmación es falsa . Esto prueba automáticamente que no puede haber una prueba de la declaración usando solo estos axiomas: el axioma de Euclides es fundamentalmente necesario.
¿Qué sucede si eliminamos el Axioma de Euclides? Los estudiantes de geometría pueden recordar (posiblemente un poco confuso) que si eliminas el Postulado Paralelo, puedes obtener varias geometrías no euclidianas, como la geometría hiperbólica.
Lo que mostraremos es que en la geometría hiperbólica, puede encontrar una colección de tres puntos distintos que no son colineales y no hay ningún círculo que los atraviese. Dado que la geometría hiperbólica satisface todos los axiomas de Tarski, salvo el Axioma de Euclides, esto resolverá el asunto.
¿Cómo describiremos la geometría hiperbólica? Haremos uso del modelo de disco de Poincaré: tomamos el disco de la unidad, pero redefinimos las distancias para que a medida que se acerque al círculo de límites, tome más y más largo viajar distancias cada vez más cortas. Con este cambio, las líneas en el modelo de disco ya no son necesariamente líneas rectas en la forma en que estamos acostumbrados; en cambio, son círculos que cumplen el límite en ángulos rectos.
Es fácil comprobar que este es realmente un plano hiperbólico , es decir, en este modelo el Postulado Paralelo es falso. Dada una línea [matemática] l [/ matemática] y un punto [matemática] p [/ matemática] que no está en la línea, de hecho hay infinitas líneas que pasan por [matemática] p [/ matemática] y no se cruzan [ matemáticas] l [/ matemáticas].
Lo que es más difícil de verificar es que las isometrías de este plano hiperbólico en realidad son solo transformaciones fraccionales lineales que preservan el disco (es decir, todos los puntos en el disco se envían a, posiblemente otros) puntos en el disco). Sin embargo, este hecho tiene una clara consecuencia: los círculos en el disco de Poincaré son solo círculos euclidianos (pero con diferentes centros).
La prueba es simple: use una transformación fraccional lineal para mover el centro del círculo al centro del disco. Una vez allí, es obvio por simetría rotacional que el locus de puntos equidistantes de ese punto es un círculo euclidiano, pero luego, por las propiedades de las transformaciones fraccionales lineales, se sabe que el locus original también era un círculo euclidiano.
Esta es una observación muy útil, y ahora la usaremos para demostrar que en el plano hiperbólico es posible encontrar tres puntos distintos que no son colineales y que no tienen un círculo que los atraviese.
¿Puedes verlo? Hay tres puntos dentro del disco en el dibujo anterior, que definen un triángulo hiperbólico. Si hay un círculo hiperbólico que pasa por esos tres puntos, de hecho también debe ser un círculo euclidiano. Para el plano euclidiano, ya probamos que existe un círculo único a través de cualquiera de los tres puntos que son distintos y no colineales. Sin embargo, cuando dibujamos ese círculo, vemos que se asoma fuera del disco; ergo, no es un círculo hiperbólico .
Por lo tanto, no hay un círculo hiperbólico que pase por estos tres puntos, ¡y hemos terminado!
