Digamos que una hoja de papel de 8.5 pulgadas por 11 pulgadas está doblada para que una esquina toque el lado largo opuesto y el pliegue se extienda desde el lado corto adyacente al otro lado largo, como se muestra en la imagen a continuación. ¿Cuál es la longitud mínima del pliegue?

Answer 1

* A2A

Tenga en cuenta que cuando el papel está plegado, el área eliminada se superpone sobre una región con la misma área. Por lo tanto, surge la idea de congruencia.

• Tome un papel y dóblelo, verá que la región triangular gris es congruente con la región triangular punteada. Si no haces esto, quizás sea difícil para ti reconocer lo que voy a hacer aquí …

[matemáticas] \ begin {align} \ gamma & = \ dfrac \ pi2- \ beta \\\ alpha & = \ pi-2 \ beta = 2 \ left (\ dfrac \ pi2- \ beta \ right) = 2 \ gamma \ end {alinear} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Usa el triángulo rectángulo en la esquina inferior izquierda

[matemáticas] \ cos \ alpha = \ dfrac {8.5-x} x = \ cos 2 \ gamma \ tag * {} [/ matemáticas]

Ahora usando la identidad de doble ángulo …

[matemáticas] \ begin {align} \ cos 2 \ gamma & = \ cos ^ 2 \ gamma- \ sin ^ 2 \ gamma \\ & = \ left (\ dfrac yd \ right) ^ 2- \ left (\ dfrac xd \ derecha) ^ 2 \\ & = \ dfrac {y ^ 2-x ^ 2} {d ^ 2} \\ & = \ dfrac {(d ^ 2-x ^ 2) -x ^ 2} {d ^ 2} \\ & = \ dfrac {d ^ 2-2x ^ 2} {d ^ 2} \\\ dfrac {8.5-x} x & = \ dfrac {d ^ 2-2x ^ 2} {d ^ 2} \\ d ^ 2 (8.5-x) & = d ^ 2x-2x ^ 3 \\ d ^ 2 (8.5-2x) & = – 2x ^ 3 \\ d ^ 2 & = \ dfrac {2x ^ 3} {2x-8.5} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

---

[matemáticas] \ begin {align} d & = \ sqrt {\ dfrac {2x ^ 3} {2x-8.5}} \\ & \ text {En los puntos críticos …} \\ d ‘& = 0 \\ \ dfrac {6x ^ 2 (2x-8.5) -2x ^ 3 (2)} {2 (2x-8.5) ^ 2 \ sqrt {\ dfrac {2x ^ 3} {2x-8.5}}} & = 0 \\ \ dfrac {3x ^ 2 (2x-8.5) -2x ^ 3} {(2x-8.5) ^ 2 \ sqrt {\ dfrac {2x ^ 3} {2x-8.5}}} & = 0 \\ 3x ^ 2 ( 2x-8.5) -2x ^ 3 & = 0 \\ x ^ 2 (6x-25.5-2x) & = 0 \\ x ^ 2 (4x-25.5) & = 0 \\ x & = 6.375, \ qquad x \ neq 0 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

---

Jugar con los números un poco te dirá que esta longitud que encontramos es exactamente tres cuartos del lado más corto del papel . ¿Es esa una condición para esta optimización? Tal vez 🙂

No creo que debamos verificar la segunda derivada, ya que sospecho que será demasiado fea. Dijimos que [math] x \ neq 0 [/ math] y excepto que obtuvimos solo otro valor, que es [math] 6.375 [/ math], así que debería estar bien, supongo.

Todavía no hemos encontrado la longitud mínima del pliegue. Sustituyendo el valor de [math] x [/ math] nuevamente en [math] d (x) [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} d (x) & = \ sqrt {\ dfrac {2x ^ 3} {2x-8.5}} \\ d (6.375) & = \ dfrac {51 \ sqrt3} 8 \ end {align } \ tag * {} [/ math]

Muy afortunado de obtener un resultado exacto de la calculadora. Su aproximación decimal coincide con la respuesta encontrada por Eric Dietrich.

Para aquellos de ustedes que pueden buscar un poco más de diversión, intente usar triángulos similares 😉

Parece que todo es bueno 🙂

Answer 2

Para responder una pregunta de plegado de papel no especificada, debemos considerar 3 casos. Según los lados del principio y el final del pliegue, los tres casos son LL, LS y SS. (Largo corto). Oh gracias. Ya lo especificaste. Como se muestra en la imagen, corte el exceso de papel de la parte superior para que el pliegue comience en la esquina superior derecha.

Answer 3

Gracias por el A2A!

Esto parece un problema divertido. Hice una cosa interactiva en Desmos que me da una estimación aproximada (aproximadamente 11.042 pulgadas):

Ahora, estoy llamando al punto verde a la izquierda [matemáticas] (0, \ varphi) [/ matemáticas]. Dado que el punto inferior derecho es [matemáticas] (8.5,0) [/ matemáticas], podemos calcular que la línea que las atraviesa es [matemáticas] y- \ frac {\ varphi} {2} = \ frac {- \ varphi} {8.5} (x- \ frac {8.5} {2}) [/ math] donde [math] (\ frac {8.5} {2}, \ frac {\ varphi} {2}) [/ math] es el punto medio del punto verde y la esquina inferior derecha del papel. Entonces, la línea que representa el pliegue será perpendicular a esa línea y pasará por su punto medio, por lo que hacemos que la pendiente sea recíproca negativa:

[matemática] y- \ frac {\ varphi} {2} = \ frac {8.5} {\ varphi} (x- \ frac {8.5} {2}) [/ math]

Ahora queremos encontrar los puntos rojo y azul en el diagrama con respecto a [math] \ varphi [/ math]. El punto rojo va a ser el punto en la línea cuando [math] y [/ math] es 0, y el punto azul va a ser el punto en la línea cuando [math] x [/ math] es 8.5 . Entonces, con un poco de álgebra y enchufarlo, obtenemos:

Punto rojo: [matemáticas] (- \ frac {\ varphi ^ 2} {17} + \ frac {8.5} {2}, 0) [/ matemáticas]

Punto azul: [matemáticas] (8.5, \ frac {8.5 ^ 2} {2 \ varphi} + \ frac {\ varphi} {2}) [/ matemáticas]

Ahora, usando la fórmula de la distancia, finalmente obtenemos una fórmula para la longitud de la línea con respecto a [math] \ varphi [/ math]:

[matemáticas] d = \ sqrt {\ left (8.5+ \ frac {\ varphi ^ 2} {17} – \ frac {8.5} {2} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {8.5 ^ 2} { 2 \ varphi} + \ frac {\ varphi} {2} \ right) ^ 2} [/ math]

Ahora esto parece algo absolutamente desagradable para tomar la derivada de forma manual, así que solo voy a usar WolframAlpha para ahorrar tiempo:

(Tenga en cuenta que [matemáticas] x = \ varphi [/ matemáticas])

Ahora eso parece aún más una pesadilla para establecer igual a 0 y resolver, así que nuevamente, WolframAlpha:

Ahora queremos la solución positiva, entonces [math] \ varphi = \ frac {17} {2 \ sqrt {2}} = \ frac {17 \ sqrt {2}} {4} [/ math]

Ahora, una cuidadosa sustitución de nuevo en la fórmula de distancia original con la ayuda de WolframAlpha nuevamente (me encanta WolframAlpha):

(No me daría un formulario cerrado, así que solo seleccione tantos dígitos como sea necesario):

Uf.