Describiré la curvatura para una variedad de dimensiones arbitrarias, ya que una superficie es solo el caso especial de [math] n = 2 [/ math].
Distinguimos entre curvatura intrínseca y extrínseca. La curvatura extrínseca de un colector depende de su incrustación en un colector plano de dimensiones superiores. Este es probablemente el tipo de curvatura más intuitivo, ya que podemos visualizarlo fácilmente. Un ejemplo simple es imaginar una esfera de 2 en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]. Sin embargo, la curvatura intrínseca existe completamente independiente de cualquier incrustación. Es una propiedad intrínseca de la variedad. Este es el tipo de curvatura que usamos en la relatividad general, para dibujar un paralelo con la física.
La curvatura en general se puede describir por transporte paralelo. Tenemos algunos vectores en un espacio tangente en nuestro múltiple que nos movemos en un bucle infinitesimal. De esto podemos deducir cuán curvado está en un punto particular. Usamos el tensor de curvatura de Riemann para mapear un vector [matemático] V ^ {\ mu} [/ matemático] a la diferencia en sus componentes después de que ha sido transportado en paralelo a lo largo del bucle. El tensor de curvatura de Riemann [matemática] R _ {\ sigma \ mu \ nu} ^ {\ rho} [/ matemática] puede expresarse como un conmutador de derivadas covariantes que actúan en un campo vectorial
[matemáticas] [\ nabla _ {\ mu}, \ nabla _ {\ nu}] V ^ {\ rho} = R _ {\ sigma \ mu \ nu} ^ {\ rho} V ^ {\ sigma} [/ math].
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donde [math] \ nabla _ {\ mu} [/ math] denota la derivada covariante que puede considerarse como la medición de la tasa de cambio de un tensor en relación a si se transportara en paralelo. Esto debería tener un sentido intuitivo, porque estamos preguntando cómo cambia el vector al transportarlo en paralelo de una manera, luego otra, y restando la diferencia. La diferencia en los componentes del vector viene dada por
[matemáticas] \ delta V ^ {\ rho} = R _ {\ sigma \ mu \ nu} ^ {\ rho} V ^ {\ sigma} A ^ {\ mu} B ^ {\ nu} [/ matemáticas] donde [ math] A [/ math] y [math] B [/ math] son vectores que caracterizan el ciclo alrededor del cual transportamos en paralelo.
La diferencia entre cómo calculamos la curvatura extrínseca e intrínseca está en cómo realizamos el transporte paralelo. Para la curvatura intrínseca, simplemente transportaríamos en paralelo en el colector, mientras que para la curvatura extrínseca tendríamos que transportar en paralelo a través del submanifold hacia el colector dimensional superior y viceversa.