¿Cómo puedo obtener una distancia perpendicular uniendo una línea (1,2, -1), (4,2,1) desde un punto (1,2,3)?

Answer 1

A2A

Hagamos esto en general.

Se nos dan tres puntos [matemáticas] r_1, r_2 [/ matemáticas] y [matemáticas] r_3 [/ matemáticas]. Ahora dibujamos una línea [matemática] L_1 [/ matemática] entre [matemática] r_1 [/ matemática] y [matemática] r_2 [/ matemática], y una segunda línea [matemática] L_2 [/ matemática] que pasa por [matemática] r_3 [/ math], intersecta la línea [math] L_1 [/ math] en un punto [math] r_4 [/ math] y es perpendicular a [math] L_1 [/ math]. La pregunta es cuál es la distancia entre [matemáticas] r_3 [/ matemáticas] y [matemáticas] r_4 [/ matemáticas].

Como la línea [matemática] L_1 [/ matemática] pasa por [matemática] r_1 [/ matemática] y [matemática] r_2 [/ matemática], incluye todos los puntos de la forma [matemática] r_1 + a (r_2-r_1) [ / math] para todos los escalares reales [math] a [/ math]. Por lo tanto

[matemáticas] r_4 = r_1 + x (r_2-r_1) [/ matemáticas]

para algunos escalares [matemáticas] x [/ matemáticas]. La línea [matemáticas] L_2 [/ matemáticas] es todos los puntos que tienen la forma

[matemáticas] r_3 + b (r_4-r_3) = r_3 + b [(1-x) r_1 + xr_2-r_3] [/ matemáticas].

Debido a que las dos líneas son perpendiculares, el producto escalar de sus pendientes es cero

[matemática] 0 = (r_2-r_1) \ cdot [r_1-r_3 + x (r_2-r_1)] [/ matemática].

De esta ecuación encontramos que

[matemáticas] x = \ frac {(r_2-r_1) \ cdot (r_3-r_1)} {(r_2-r_1) ^ 2} [/ matemáticas].

Después de encontrar el valor de [math] x [/ math] encontramos que [math] r_4 [/ math] es

[matemáticas] r_4 = r_1 + \ frac {(r_2-r_1) \ cdot (r_3-r_1)} {(r_2-r_1) ^ 2} (r_2-r_1) = \ frac {(r_2-r_1) \ cdot (r_2- r_3)} {(r_2-r_1) ^ 2} r_1 + \ frac {(r_2-r_1) \ cdot (r_3-r_1)} {(r_2-r_1) ^ 2} r_2 [/ math].

La distancia (al cuadrado) entre [matemáticas] r_3 [/ matemáticas] y [matemáticas] r_4 [/ matemáticas] es

[matemáticas] R ^ 2 = (r_4-r_3) ^ 2 = \ frac {1} {(r_2-r_1) ^ 4} [(r_2-r_1) \ cdot (r_2-r_3) r_1 + (r_2-r_1) \ cdot (r_3-r_1) r_2- (r_2-r_1) ^ 2r_3] ^ 2 [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que este resultado no cambiará si movemos los tres vectores por cualquier vector constante. Sin pérdida de generalidad, los movemos por [math] -r_3 [/ math] de modo que donde aparezca [math] r_n [/ math] lo cambiemos a [math] r_n-r_3 [/ math]. Por lo tanto

[matemáticas] R ^ 2 = \ frac {1} {(r_2-r_1) ^ 4} [(r_2-r_1) \ cdot (r_2-r_3) (r_1-r_3) – (r_2-r_1) \ cdot (r_1- r_3) (r_2-r_3)] ^ 2 [/ matemáticas].

Todo lo que queda es conectar los números:

[matemáticas] r_2-r_1 = (3,0,2) [/ matemáticas]

[matemáticas] r_1-r_3 = (0,0, -4) [/ matemáticas]

[matemáticas] r_2-r_3 = (3,0, -2) [/ matemáticas]

tal que

[matemáticas] R ^ 2 = \ frac {1} {13 ^ 2} [5 (0,0, -4) +8 (3,0, -2)] ^ 2 = \ frac {1} {13 ^ 2 } (24,0, -36) ^ 2 = \ frac {12 ^ 2 × 13} {13 ^ 2} [/ matemáticas].

Por lo tanto la distancia es

[matemáticas] R = \ frac {12} {\ sqrt {13}} [/ matemáticas]

Answer 2

Aprovechamos que las coordenadas y son las mismas y las ignoramos. En realidad, eso es solo cambiar el eje, de modo que estamos tratando con líneas y puntos en 2 espacios. La ecuación de la línea a través de (1, -1) y (4,1) es [matemáticas] 2x-3y-5 = 0. [/ Matemáticas] Usando una fórmula familiar de escuela secundaria, la distancia de (1,3) a esta linea es

[matemática] \ dfrac {| 2 \ times1-3 \ times3 |} {\ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2}} = \ dfrac {12} {\ sqrt {13}}. [/ math]

Answer 3

Así es como lo hice:

Ignoré la segunda variable (valor y) porque todos los puntos están en y = 2.

En mi boceto terminé etiquetando x y z como x e y.

Encontré la pendiente de la línea.

La pendiente de la línea (b) desde 1,2,3 debe ser perpendicular al punto más cercano en la línea a, por lo que es lo opuesto (tanto negativo como recíproco) de la pendiente.

Encontré la ecuación para ambas líneas.

Resolví como un sistema de ecuaciones para encontrar su punto de intersección.

Usé el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la línea b. (Resté para encontrar las longitudes de las piernas a mi triángulo rectángulo artificial).

Ese último paso fue donde recurrí a una calculadora.