¿Cómo se encuentra la ecuación de una elipse cuando solo se proporcionan un foco, un vértice y la longitud del eje menor? Por ejemplo, ¿cuál sería la ecuación de V (18, -2), f (12, -2) y el eje menor 24?

Answer 1

Como el vértice y el foco se encuentran en la misma ordenada (ambos se encuentran en [matemáticas] y = -2 [/ matemáticas]), la elipse es horizontal y su ecuación tiene la forma [matemáticas] \ frac {(xh) ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {(yk) ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemáticas].

Necesitamos obtener [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas], así como el centro [matemáticas] (h, k) [/ matemáticas] de la elipse.

---

Encontrar B

Eje menor se da:

eje menor [matemática] = 2b = 24 [/ matemática]

[matemáticas] b = 12 [/ matemáticas]

---

Encontrar A, C yk

Se da un vértice y un foco.

[matemáticas] V (18, -2) [/ matemáticas] y [matemáticas] f (12, -2) [/ matemáticas]

Así es como se ve nuestra elipse. Con el punto verde como nuestro vértice y el punto azul como nuestro foco.

Para obtener [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas], necesitamos usar la ecuación [matemáticas] c ^ 2 = a ^ 2-b ^ 2 [/ matemáticas].

Sustituyendo el valor de [math] b [/ math] que obtuvimos anteriormente,

[matemáticas] c ^ 2 = a ^ 2- (12) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] c ^ 2 = a ^ 2-144 [/ matemáticas]

Sin embargo, teniendo dos variables desconocidas, no podemos resolver esta ecuación. Por lo tanto, tenemos que escribir uno de ellos en términos del otro. Para hacerlo, estamos obteniendo la diferencia entre [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas].

---

Los vértices de una elipse horizontal son [matemática] (h + a, k) [/ matemática] y [matemática] (ha, k) [/ matemática]. [math] V (18, -2) [/ math] está a la derecha del centro, por lo que viene dado por el primero: [math] (h + a, k) [/ math].

[matemáticas] h + a = 18 [/ matemáticas]

[matemáticas] k = -2 [/ matemáticas]

---

Los focos de una elipse horizontal son [matemáticas] (h + c, k) [/ matemáticas] y [matemáticas] (hc, k) [/ matemáticas]. [math] f (12, -2) [/ math] está a la derecha del centro, por lo que viene dado por el primero: [math] (h + c, k) [/ math].

[matemáticas] h + c = 12 [/ matemáticas]

[matemáticas] k = -2 [/ matemáticas]

---

Restando [matemáticas] h + c [/ matemáticas] de [matemáticas] h + a [/ matemáticas],

[matemáticas] h + a- (h + c) = 18-12 [/ matemáticas]

[matemáticas] ac = 6 [/ matemáticas]

Ahora podemos escribir [matemáticas] a [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] c [/ matemáticas].

[matemáticas] a = c + 6 [/ matemáticas]

Volviendo a nuestra última ecuación:

[matemáticas] c ^ 2 = a ^ 2-144 [/ matemáticas]

[matemáticas] c ^ 2 = (c + 6) ^ 2-144 [/ matemáticas]

[matemáticas] c ^ 2 = c ^ 2 + 12c + 36-144 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = 12c-108 [/ matemáticas]

[matemáticas] 12c = 108 [/ matemáticas]

[matemáticas] c = 9 [/ matemáticas]

Como [matemática] a = c + 6 [/ matemática], [matemática] a = 15 [/ matemática].

---

Encontrar h

Lo único que queda es la [matemática] h [/ matemática].

Anteriormente encontramos que [matemáticas] h + c = 12 [/ matemáticas].

Sustituyendo [matemáticas] c = 9 [/ matemáticas],

[matemáticas] h + 9 = 12 [/ matemáticas]

[matemáticas] h = 3 [/ matemáticas]

---

Nuestra ecuación, entonces, se convierte

[matemáticas] \ frac {(x- (3)) ^ 2} {(15) ^ 2} + \ frac {(y – (- 2)) ^ 2} {(12) ^ 2} = 1 [/ matemáticas ]

[matemáticas] \ frac {(x-3) ^ 2} {225} + \ frac {(y + 2) ^ 2} {144} = 1 [/ matemáticas]

---

Si encuentra esta explicación difícil de entender, en realidad solo se trata de jugar con ecuaciones. Busque [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas], [matemáticas] h [/ matemáticas] y [matemáticas] k [/ matemáticas] usando ecuaciones que haya aprendido en la escuela. También puede dibujar un gráfico para ayudarlo.

Answer 2

Lo haré geométricamente antes que analíticamente.

Deje que una elipse [matemática] s [/ matemática] tenga vértice [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática], y enfoque [matemática] E [/ matemática] y [matemática] F [/ matemática] , con [matemáticas] E [/ matemáticas] más cerca de [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] F [/ matemáticas] más cerca de [matemáticas] B [/ matemáticas]. Entonces [matemática] A [/ matemática], [matemática] E [/ matemática], [matemática] F [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] son ​​colineales y [matemática] AE = FB [/ matemática] . [math] AB [/ math] es el eje principal de [math] s [/ math].

Deje [math] O [/ math] ser el centro de [math] AB [/ math] (que también es el punto medio entre [math] E [/ math] y [math] F [/ math]), y la perpendicular a [matemática] AB [/ matemática] en [matemática] O [/ matemática], corta [matemática] s [/ matemática] en [matemática] C [/ matemática] y [matemática] D [/ matemática]. [matemáticas] CD [/ matemáticas] es el eje menor.

Ahora tenemos que [matemáticas] EC = CF = FD = DE = OA = OB [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que el eje menor es menor que el eje mayor, entonces [matemática] CD

Veamos el triángulo [matemática] OCF [/ matemática]. Es un triángulo rectángulo, por lo tanto, [matemática] OC ^ 2 + OF ^ 2 = CF ^ 2 = OB ^ 2 [/ matemática]. Entonces [matemáticas] OB ^ 2-OF ^ 2 = OC ^ 2 [/ matemáticas], pero [matemáticas] OB ^ 2-OF ^ 2 = (OB + OF) (OB-OF) = (OA + OF) (OB -OF) = AF \ veces FB [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] AF \ veces FB = OC ^ 2 [/ matemáticas].

Esto nos da una relación importante. La semieje menor [matemática] OC [/ matemática] es mayor que la distancia de un foco al vértice más cercano [matemática] FB [/ matemática], pero menor que la distancia de un foco al vértice opuesto [matemática] FA [/ matemáticas].

En el ejemplo, el vértice está en [matemática] V \ colon (18, -2) [/ matemática] y el foco en [matemática] F \ colon (12, -2) [/ matemática], entonces la distancia entre el foco y el vértice es [matemáticas] 6 [/ matemáticas]. El eje menor es [matemática] 24 [/ matemática], por lo que la semieje menor es [matemática] 12 [/ matemática]. Como [matemática] 12> 6, [/ matemática] significa que [matemática] V [/ matemática] es el vértice que se cierra para enfocar [matemática] F [/ matemática] ([matemática] B [/ matemática] en nuestro análisis) . También [math] AF \ times6 = 12 ^ 2 [/ math], entonces [math] AF = 24 [/ math]. Entonces [matemática] A [/ matemática] está a una distancia de [matemática] 24 [/ matemática] de [matemática] F [/ matemática], opuesta a [matemática] B = V [/ matemática].

Esto es bastante más fácil en nuestro ejemplo dado que tanto [math] F [/ math] como [math] V [/ math] son ​​horizontales, por lo que podemos obtener fácilmente [math] A \ colon (-12, -2) [/ matemática], y el centro es [matemática] O \ colon (3, -2) [/ matemática].

El eje horizontal es entonces [matemática] 30 [/ matemática] (la semieje horizontal es [matemática] 15 [/ matemática]), y el eje vertical [matemática] 24 [/ matemática] (semiaxis [matemática] 12 [/ matemática]) , entonces la ecuación es:

[matemáticas] \ displaystyle \ Bigl (\ frac {x-3} {15} \ Bigr) ^ 2 + \ Bigl (\ frac {y + 2} {12} \ Bigr) ^ 2 = 1. [/ math]

Answer 3

Si C es el centro de la elipse,

[matemáticas] CV = a [/ matemáticas] y [matemáticas] CF = ae [/ matemáticas]; [matemática] FV = a (1-e) = 18–12 = 6 [/ matemática] (dada) [matemática] b = 12 [/ matemática]

También [matemáticas] b ^ 2 = a ^ 2 (1-e ^ 2) = a (1-e) * a (1 + e) ​​[/ matemáticas]

[matemáticas] 12 ^ 2 = 6 * a (1 + e) ​​[/ matemáticas]

Por lo tanto [matemáticas] a (1 + e) ​​= 144/6 = 24 [/ matemáticas]

Tenemos [matemáticas] a (1-e) = 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] a (1 + e) ​​= 24 [/ matemáticas]

sumando [matemática] 2a = 30 [/ matemática]; [matemáticas] a = 15 [/ matemáticas]

Entonces el centro es [matemática] (18–15, -2) [/ matemática] es decir [matemática] (3, -2) [/ matemática]

La ecuación se puede escribir como

[matemáticas] \ dfrac {(x-3) ^ 2} {15 ^ 2} + \ dfrac {(y – (- 2)) ^ 2} {12 ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {(x-3) ^ 2} {15 ^ 2} + \ dfrac {(y + 2) ^ 2} {12 ^ 2} [/ matemáticas]