¿Cómo calculas el área de un triángulo?

Answer 1

Agregando a las otras respuestas:

1. Si el triángulo está dado por dos vectores [math] \ mathbf {u} [/ math] y [math] \ mathbf {v} [/ math] que se originan en un vértice, el área será [math] \ textstyle A = \ frac {1} {2} | \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} | [/matemáticas].
2. Para círculos mutuamente tangentes con centros en los vértices del triángulo (Soddy Circles), el área es [matemática] A = \ sqrt {a ^ {\ prime} b ^ {\ prime} c ^ {\ prime} (a ​​^ { \ prime} + b ^ {\ prime} + c ^ {\ prime})} [/ math] donde [math] a = b ^ {\ prime} + c ^ {\ prime} [/ math], [math] b = c ^ {\ prime} + a ^ {\ prime} [/ math] y [math] c = a ^ {\ prime} + b ^ {\ prime} [/ math].
   Imagen cortesía de Wolfram MathWorld
3. [matemática] \ displaystyle A = \ frac {abc} {4R} = rs [/ matemática], [matemática] R [/ matemática] es el circunradio, [matemática] r [/ matemática] es el inradio y [matemática] s [/ math] es el semiperímetro.
4. Si los vértices se especifican como [matemática] (x_1, y_1) [/ matemática], [matemática] (x_2, y_2) [/ matemática] y [matemática] (x_3, y_3) [/ matemática] entonces el área firmada del el triángulo plano viene dado por [math] \ displaystyle A = \ frac {1} {2} \ begin {vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \ end {vmatrix} [/ math].
5. Y, finalmente, una forma expandida de la Fórmula de la Garza, [matemáticas] \ displaystyle A = \ sqrt {(a + b + c) (b + ca) (c + ab) (a + bc)} = \ sqrt {2b ^ 2c ^ 2 + 2c ^ 2a ^ 2 + 2a ^ 2b ^ 2-a ^ 4-b ^ 4-c ^ 4} [/ matemáticas]

Answer 2

El área del triángulo se puede calcular de diferentes maneras según lo que sepa sobre el triángulo.

• Si conoce la base (b) y la altura (h) del triángulo, A = 1/2 * b * h
• Si conoce dos lados (b & c) y el ángulo entre (alfa), A = 1/2 * b * c * sin (alfa)
• Si conoce dos ángulos (alfa y beta) y la longitud entre ellos, [matemática] A = \ frac {c ^ 2 sin (\ beta) \ cdot sin (\ alpha)} {2 \ cdot sin (2 \ pi – \ alpha – \ beta)} [/ math]
• Si conoce la longitud de tres lados (a, b, c), [matemática] A = \ sqrt {s * (sa) * (sb) * (sc)} [/ matemática] donde [matemática] s = \ frac {a + b + c} {2} [/ matemáticas]

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Answer 3

Hay muchas combinaciones para obtener el superfice.
……… ..

http://TrianCal.esy.es – Abrir en Google Chrome.
(Calculadora en línea de triángulos desarrollada por Jesus S.)
YouTube: https://youtu.be/V2IV7lY52mA

Propongo esta calculadora en línea gratuita de triángulos sin publicidad para ayudar a los estudiantes con geometría, no realicen tareas escritas después de utlizadas, no muestren fórmulas en los cálculos. Está diseñado de forma didáctica para verificar y ver los ejercicios.

TrianCal es una calculadora en línea de triángulos que funciona con cualquier combinación de valores que incluya lados, alturas, ángulos, área o perímetro de cualquier triángulo, calculándolo con la menor cantidad de valores posibles (generalmente tres).

Otras funciones:
– Dibuja los triángulos con GeoGebra.
– Establecer el rango de valores permitidos en cada elemento.
– El tipo de ángulo.
– El tipo de triángulo por sus lados y ángulos.
– Selección de idioma (inglés o español).
– Seleccionar y ángulos [grados (°), radianes, grados, minutos y segundos (° ‘”) o grados y minutos (°’)] es.
– Número de decimales para mostrar en los resultados (0-15).
– Puede usar las teclas de flecha y la tecla Tab para navegar por la configuración.
– Menú desplegable para seleccionar valores cómodamente.
– Crear un enlace (URL) al triángulo actual.
– Un icono de correo para comunicarse con el autor.

NOTA: Debe usar el navegador Google Chrome para mostrar TrianCal correctamente.

Ejemplos de posibles combinaciones:
– El área, el perímetro y otros datos (lado, altura o ángulo), si el triángulo equilátero exterior no necesitara el tercer dato.
– 2 ángulos y otros datos (si el valor de los otros datos no se deja de lado, el valor de “a” al momento de dibujar el triángulo es 10).
– Una mano, una alta y un ángulo.
– 3 alturas.
– 3 lados.
– 2 alturas y perímetro.
– Cualquier otra combinación de valores.

Answer 4

En esta imagen, las letras mayúsculas son los cuadrados de las longitudes. En particular tenemos

[matemáticas] \ sqrt {P} = \ sqrt {A} – \ sqrt {Q} [/ matemáticas]

[matemáticas] P = A + Q – 2 \ sqrt {AQ} [/ matemáticas]

[matemáticas] (PAQ) ^ 2 = 4AQ [/ matemáticas]

Llamemos a [math] a [/ math] el área del triángulo azul. Cada pieza divide un rectángulo más pequeño, por lo que [matemáticas] 2a [/ matemáticas] es el área del rectángulo grande. Asumiremos que sabemos que el área de un rectángulo es ancho por alto. Aquí tenemos los cuadrados de las longitudes, entonces

[matemáticas] (2a) ^ 2 = AH [/ matemáticas]

El teorema de Pitágoras (dos veces) es simplemente

[matemáticas] B = H + P \ quad \ quad C = H + Q [/ matemáticas]

[matemáticas] P = BH \ quad \ quad Q = CH [/ matemáticas]

Sustituyendo en [matemáticas] (PAQ) ^ 2 = 4AQ [/ matemáticas] obtenemos

[matemáticas] ((BH) -A- (CH)) ^ 2 = 4A (CH) [/ matemáticas]

[matemáticas] (BAC) ^ 2 = 4AC-4AH = 4AC – 4 (4a ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] 16a ^ 2 = 4AC – (BAC) ^ 2 [/ matemáticas]

Esa es la fórmula para el cuadrado del área de un triángulo dados los cuadrados de los lados. Puede reconocer la fórmula desde el principio de esta respuesta. Si hubiéramos comenzado con el triángulo degenerado donde [matemática] \ sqrt {A} = \ sqrt {B} + \ sqrt {C} [/ matemática] sabemos por nuestro primer paso [matemática] 4AC – (BAC) ^ 2 = 0. [/ math] Ahora vemos por qué: el triángulo degenerado tiene un área cero.

Por supuesto, el área de un triángulo permanece igual sin importar el orden que se den a los lados. Por lo tanto, debemos tener una forma simétrica, que es posible que desee derivar usted mismo.

Un poco de álgebra produce

[matemáticas] 16a ^ 2 = (A + B + C) ^ 2-2 (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2) [/ matemáticas]

Tarea: Compare esto con la fórmula de Heron. Derivar uno del otro. Calcule algunas áreas en ambos sentidos. ¿Cual prefieres?