¿Puede demostrar en general que un volumen de tipo cono es un tercio del volumen de tipo cilindro, independientemente de la forma de la base?

Answer 1

¿Puede demostrar en general que un volumen de tipo come es un tercio del volumen de tipo cilindro, independientemente de la forma de la base?

Si puedo. Suponiendo que quiere decir “cono”.

Oh! ¿Quieres que lo demuestre? ¿Por qué no decirlo?

Divide la base en pequeños rectángulos por una cuadrícula y une los límites de los rectángulos con el vértice del cono. Dividirá el cono en una familia de conos sesgados con bases rectangulares (además de algunos pequeños conos de formas extrañas alrededor de los bordes). Todos estos son el área base multiplicada por la altura sobre tres, y por lo tanto también lo es la mayor parte del cono. Pero las piezas extrañas se pueden hacer tan pequeñas como desee. El resultado sigue.

Dejo que demuestre que la fórmula funciona para un cono sesgado. Sugerencia: divídalo en rodajas horizontales como una pila de naipes.

Answer 2

Considere un objeto de “tipo cilíndrico” con una base irregular. Llame a este objeto A. Deje que la altura del objeto A sea H unidades.

Seleccione cualquier punto P en la cara superior del objeto de “tipo cilíndrico” y únalo al perímetro de la base del objeto A para obtener un objeto de “tipo de cono”, que llamaremos objeto B, que se encuentra totalmente dentro del objeto A.

Haga un corte horizontal a una distancia vertical arbitraria h desde la parte superior del objeto A [matemática] (0

Por la ley de triángulos similares, [matemática] \ frac {r} {R} [/ matemática] es constante para cualquier línea horizontal que emana del punto Q en el corte y [matemática] \ frac {r} {R} = \ frac {h} {H}. [/ matemáticas]

Por lo tanto, la razón del área del objeto B en este corte horizontal al área del objeto A en este corte horizontal es el cuadrado de la razón de las longitudes = [matemáticas] \ frac {h ^ 2} {H ^ 2}. [ /matemáticas]

Deje que el área de la base del objeto A sea C unidades cuadradas (que también es lo mismo para el objeto B).

El área del objeto A en el corte también sería C. Luego, el área del objeto B en el corte sería [matemática] C \ frac {h ^ 2} {H ^ 2}. [/ Matemática]

Para obtener el área media del objeto B en el corte, tenemos que integrar el área del corte de [matemáticas] h = 0 [/ matemáticas] a [matemáticas] h = H [/ matemáticas], y dividir por [matemáticas] H, [/ matemáticas] que nos da,

[matemáticas] \ frac {1} {H} \ int _0 ^ h C \ frac {h ^ 2} {H ^ 2} \, \, dh = \ frac {Ch ^ 3} {3H ^ 3} | _0 ^ H = \ frac {C} {3}. [/ Matemáticas]

El volumen del objeto B es entonces la altura multiplicada por el área de sección transversal media [matemática] = H \ veces \ frac {C} {3} = \ frac {CH} {3}. [/ Matemática]

El volumen del objeto A es la base multiplicada por la altura, que es [math] CH. [/ Math]

Entonces, la relación del volumen del objeto B al volumen del objeto A es [matemática] \ frac {\ frac {CH} {3}} {CH} = \ frac {1} {3}. [/ Matemática]

Por lo tanto, en general, el volumen de un objeto de “tipo de cono” es un tercio del volumen de un objeto de “tipo de cilindro” con la misma base, independientemente de la forma de la base y la inclinación.