Si A (2,2,1), B (3,7,3) y C (4,4,0) son los puntos culminantes de un triángulo, ¿cómo puedo averiguar el área de este triángulo?

Answer 1

Pensé que sería muy instructivo intentar dibujar una versión en 3D de los puntos para ver realmente la situación.

Podemos encontrar la distancia entre puntos usando una especie de versión 3D expandida del Teorema de Pitágoras.

Los puntos son A (2, 2, 1), B (3, 7, 3) y C (4, 4, 0)

¿Notaste que el ángulo C está cerca de los 90 grados?

Esta podría haber sido una gran pregunta si solo el ángulo C hubiera sido un ángulo recto porque los lados habrían sido algo así como la relación 3, 4, 5, por lo que el área habría sido base × altura dividida por 2 = 6 unidades

Answer 2

Llamemos [matemática] P, Q [/ matemática] y [matemática] R [/ matemática] los cuadrados de las longitudes de los lados del triángulo. El teorema de Arquímedes dice

[matemática] \ def \ A {\ matemática {A}} \ A = 16 (\ textrm {área}) ^ 2 = 4PQ – (RPQ) ^ 2 [/ matemática]

Esta es una forma particularmente conveniente cuando tenemos coordenadas enteras, porque entonces [matemática] P, Q [/ matemática] y [matemática] R [/ matemática] serán enteros.

[matemáticas] P = BC ^ 2 = (4-3) ^ 2 + (4-7) ^ 2 + (0-3) ^ 2 = 19 [/ matemáticas]

[matemática] Q = AC ^ 2 = (4- 2) ^ 2 + (4- 2) ^ 2 + (0-1) ^ 2 = 9 [/ matemática]

[matemática] R = AB ^ 2 = (3 -2) ^ 2 + (7- 2) ^ 2 + (3- 1) ^ 2 = 30 [/ matemática]

[matemáticas] \ A = 4 (19) (9) – (30 – 19 – 9) ^ 2 = 680 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ textrm {área} = \ sqrt {\ A / 16} = \ sqrt {\ dfrac {85} {2}} [/ matemáticas]

Answer 3

Con el teorema de Pitágoras en el espacio de 3 d puedes tener los lados de los lados individuales.
Entonces AB = sqrt (30) o aproximadamente 5.48
BC = sqrt (19) o aproximadamente 4.36
Ac = sqrt (9) = 3
Entonces, ahora con un traingle (3 pts en un avión en el espacio 3d), puede tomar cualquier enfoque:
– forma convencional, obtenga la altura del triángulo y use (1/2) bh
– obtener el perímetro, dividir por 2 (digamos que este valor es x), y usar la ecuación de la garza; S = sqrt (x (xa) (xb) (xc)).
Por segundo enfoque, la mitad del perímetro es 6.42
Entonces, en la ecuación anterior, use x como 6.42 y use los tres lados como a, b, c