Se elige un punto al azar dentro de un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que el punto esté más cerca del centro del círculo que de su límite?

Answer 1

Eeeeasy!

Bien, entonces esta respuesta será verdadera para cualquier círculo, ya que es proporcional. Digamos que el radio de su círculo es “X”.

Si dibuja otro círculo dentro de ese círculo, con el mismo punto central y con un radio de (X / 2), entonces habrá dibujado una línea que es igualmente distante del círculo original externo como lo es del centro.

Entonces, ahora hay dos regiones. Uno es un círculo más grande con un área de [matemáticas] \ pi X ^ 2 [/ matemáticas], y el otro corcle más pequeño tiene un área de [matemáticas] \ frac {\ pi X ^ 2} {4} [/ matemáticas]

El círculo más grande es 4 veces más grande que el círculo más pequeño, pero resta uno del otro, por lo que su relación es 3: 1

Tiene 3 veces más probabilidades de elegir aleatoriamente un punto más cercano al círculo que el centro.

O una declaración equivalente:

Tienes un 25% de posibilidades de elegir aleatoriamente un punto más cercano al centro que el círculo.

Answer 2

Suponga un círculo de círculo de radio [matemáticas] r [/ matemáticas], dentro del cual se distribuyen 100 puntos de manera uniforme. Nota: la distribución uniforme en toda el área del círculo garantiza que no haya una situación de sesgo.

De estos 100, se elige un único punto al azar. Dibuje el radio del círculo que pasa por este punto y P sea el punto medio de este radio. ¿Dónde se encuentra el punto en este radio? ¿Izquierda de P más cerca del centro o derecha de P más cerca del límite?

Si se dibuja un círculo concéntrico con un radio r / 2 que pasa por P, podemos encontrar cuántos puntos se encuentran en el círculo interno y el círculo externo.

Distribución uniforme: el punto por unidad de área es constante.

[matemáticas] \ dfrac {m} {π (\ frac {r} {2}) ^ 2} = \ dfrac {n} {πr ^ 2-π (\ ​​frac {r} {2}) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {m} {π \ frac {r ^ 2} {4}} = \ dfrac {n} {πr ^ 2 (1- \ frac {1} {4})} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {4m} {1} [/ matemáticas] [matemáticas] = \ dfrac {4n} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {m} {n} = \ dfrac {1} {3} [/ matemáticas]

Pero [matemáticas] m + n = 100 [/ matemáticas], el número total de puntos.

Por lo tanto, [matemática] m = 25 [/ matemática] y [matemática] n = 75 [/ matemática]

Así, de 100 puntos uniformes, 75 se encuentran fuera del círculo interno, y solo 25 se encuentran dentro del círculo interno que pasa a través de [matemáticas] P [/ matemáticas].

25:75 o 1: 3: por cada 1 punto en el radio a la izquierda de P hacia el centro, hay 3 puntos en el radio a la derecha de P hacia la circunferencia. Por lo tanto, para un punto elegido al azar:

Probabilidad (más cerca del centro) = [matemáticas] \ dfrac {1} {4} [/ matemáticas]

Probabilidad (más cerca del límite) = [matemáticas] \ dfrac {3} {4} [/ matemáticas]

Answer 3

Dejar,

[matemáticas] X [/ matemáticas] es un conjunto universal, es decir, el punto está dentro del círculo,

[matemáticas] I [/ matemáticas] es un conjunto de todos los puntos que están más cerca del centro que el límite.

Entonces,

[matemáticas] X = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ pi (r / 2) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {\ pi r ^ 2} {4} [/ matemáticas]

Ahora,

[matemáticas] P (I) = \ frac {I} {X} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {\ pi r ^ 2} {\ frac {\ pi r ^ 2} {4}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 0.25 [/ matemáticas]