¿Ves lo que sucede cuando las personas definen las cosas sin suficiente precisión? Recibes preguntas como esta.
Verá, [matemáticas] \ sin \ theta [/ matemáticas] no se define como la relación del opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Eso pasa a ser cierto cuando [matemáticas] 0 ^ \ circ <\ theta <90 ^ \ circ [/ matemáticas]. Incluso para cosas como [math] \ sin 100 ^ \ circ [/ math], esto ya no es cierto, y mucho menos [math] \ sin 400 ^ \ circ [/ math], digamos. (¿Qué tipo de triángulo rectángulo tiene un ángulo obtuso?)
“Entonces, ¿por qué me mintieron en la escuela?” Bueno, técnicamente no. La razón del opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a [matemática] \ sin \ theta [/ matemática] … pero solo cuando [matemática] 0 ^ \ circ <\ theta <90 ^ \ circ [/ matemática ] Como estos eran los triángulos en los que te enfocabas cuando te presentaron la trigonometría, tu maestro no te estaba mintiendo. Pero trate de extender las proporciones trigonométricas a ángulos que no sean [matemáticas] 0 ^ \ circ <\ theta <90 ^ \ circ [/ matemáticas], y de repente los triángulos en ángulo recto ya no son tan útiles.
Entonces, ¿cómo le damos sentido a [math] \ sin \ theta [/ math] para [math] \ theta [/ math] fuera del rango [math] 0 ^ \ circ <\ theta <90 ^ \ circ [/ math] ?
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Por ahora, respondemos esta pregunta de la siguiente manera.
[matemática] \ sin \ theta = \ sin (180 ^ \ circ- \ theta) [/ matemática], si [matemática] 90 ^ \ circ <\ theta <180 ^ \ circ. [/ matemática]
[math] \ sin \ theta = – \ sin (\ theta-180 ^ \ circ) [/ math], si [math] 180 ^ \ circ <\ theta <270 ^ \ circ. [/ math]
[matemática] \ sin \ theta = – \ sin (360 ^ \ circ- \ theta) [/ matemática], si [matemática] 270 ^ \ circ <\ theta <360 ^ \ circ. [/ matemática]
Por ejemplo:
[matemáticas] \ sin 100 ^ \ circ = \ sin (180 ^ \ circ-100 ^ \ circ) = \ sin 80 ^ \ circ. [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin 200 ^ \ circ = – \ sin (200 ^ \ circ-180 ^ \ circ) = – \ sin 20 ^ \ circ. [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin 300 ^ \ circ = – \ sin (360 ^ \ circ-300 ^ \ circ) = – \ sin 60 ^ \ circ. [/ matemáticas]
Cada uno de los tres senos anteriores ahora se puede entender en términos de triángulos en ángulo recto como de costumbre.
Esto deja de lado el seno de [matemática] 0 ^ \ circ [/ matemática], [matemática] 90 ^ \ circ [/ matemática], [matemática] 180 ^ \ circ [/ matemática] y [matemática] 270 ^ \ circ [ /matemáticas]. Definimos:
[matemáticas] \ sin 0 ^ \ circ = 0. [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin 90 ^ \ circ = 1. [/ matemáticas]
y extienda las desigualdades ligeramente de la siguiente manera:
[matemática] \ sin \ theta = \ sin (180 ^ \ circ- \ theta) [/ matemática], si [matemática] 90 ^ \ circ \ leq \ theta \ leq 180 ^ \ circ. [/ matemática]
[matemática] \ sin \ theta = – \ sin (\ theta-180 ^ \ circ) [/ matemática], si [matemática] 180 ^ \ circ \ leq \ theta \ leq 270 ^ \ circ. [/ matemática]
[math] \ sin \ theta = – \ sin (360 ^ \ circ- \ theta) [/ math], si [math] 270 ^ \ circ \ leq \ theta \ leq 360 ^ \ circ. [/ math]
Ahora, para responder realmente a tu pregunta. Si [math] \ theta [/ math] no está entre [math] 0 ^ \ circ [/ math] y [math] 360 ^ \ circ [/ math], use
[matemáticas] \ boxed {\ sin \ theta = \ sin (\ theta-360 ^ \ circ) = \ sin (\ theta + 360 ^ \ circ).} [/ math]
Lo anterior nos dice: si el ángulo no está entre [matemática] 0 ^ \ circ [/ matemática] y [matemática] 360 ^ \ circ [/ matemática], aumente o disminuya en [matemática] 360 ^ \ circ [/ matemáticas] e inténtalo de nuevo.
Por ejemplo, [math] \ sin 400 ^ \ circ = \ sin (400 ^ \ circ-360 ^ \ circ) = \ sin 40 ^ \ circ. [/ Math]
O [matemáticas] \ sin (-150 ^ \ circ) = \ sin (-150 ^ \ circ + 360 ^ \ circ) = \ sin 210 ^ \ circ = – \ sin (210 ^ \ circ-180 ^ \ circ) = – \ sin 30 ^ \ circ. [/ math]
En el futuro, también aprenderá sobre la medida en radianes, y tal vez incluso sobre las funciones trigonométricas de números complejos, pero por ahora, considero que esta respuesta es suficiente para lo que está preguntando.