Una esfera tiene dos lados, un interior y un exterior, pero no es tan fácil de probar como podría pensar. El teorema de separación Jordan-Brouwer [1] se probó por primera vez en 1911:
Deje que [math] X [/ math] sea una esfera topológica en [math] (n + 1) [/ math] -dimensional space Euclidean [math] \ mathbb R ^ {n + 1} (n> 0) [/ matemática], es decir, la imagen de un mapeo continuo inyectivo de la n-esfera [matemática] S ^ n [/ matemática] en [matemática] \ mathbb R ^ {n + 1} [/ matemática]. Entonces el complemento [matemática] Y [/ matemática] de [matemática] X [/ matemática] en [matemática] \ mathbb R ^ {n + 1} [/ matemática] consta de exactamente dos componentes conectados. Uno de estos componentes está limitado (el interior) y el otro no está limitado (el exterior). El conjunto [matemáticas] X [/ matemáticas] es su límite común.
Esta es una generalización del teorema de la curva de Jordan de que un bucle continuo sin intersección en un plano separa el plano en un interior acotado y un exterior no acotado. También es difícil de probar para una curva general, aunque bastante más fácil para curvas simples como polígonos o círculos.
Notas al pie
- Si una línea es una forma, ¿eso hace que un punto sea un círculo?
- ¿Cómo puedo obtener una distancia perpendicular uniendo una línea (1,2, -1), (4,2,1) desde un punto (1,2,3)?
- ¿Podemos encontrar el ángulo entre dos vectores en números sin conocer la magnitud de los vectores?
- En el triángulo ABC, tenemos AC = BC = 7 y AB = 2. Supongamos que D es un punto en la línea AB tal que B se encuentra entre A y D y CD = 8, ¿cuál es la longitud del segmento BD?
- La relación trigonométrica sinusoidal es la relación del opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. ¿Cómo puede existir el seno de un [matemático] 360 ^ \ circ [/ matemático] y de ángulos más grandes?
[1] Página en uchicago.edu