Si el círculo A se cruza con el círculo B, ¿puedo saber el área del círculo A a cada lado de la línea entre los dos puntos de intersección?

Sí, por supuesto, pero necesita saber los radios [matemática] r_1 [/ matemática] y [matemática] r_2 [/ matemática] de los dos círculos y la distancia [matemática] d [/ matemática] entre sus centros. Lo creas o no, eso es suficiente para deducir las áreas que necesitas.

Sin pérdida de generalidad, asumimos [math] r_1 \ geq r_2 [/ math]. Tenga en cuenta que [math] r_1-r_2 <d <r_1 + r_2 [/ math], de lo contrario, los dos círculos no se cruzan dos veces (asegúrese de darse cuenta de por qué esto es cierto antes de continuar leyendo esto).

Para encontrar las áreas que está solicitando, necesitamos que el ángulo [math] \ theta [/ math] esté subtendido desde el centro del círculo A hasta la línea que une los dos puntos de intersección. Una vez que hacemos esto, las dos áreas en cuestión son

[matemáticas] \ frac {1} {2} r_1 ^ 2 (\ theta- \ sin \ theta) [/ matemáticas]

y

[matemáticas] r_1 ^ 2 (\ pi- \ frac {1} {2} \ theta + \ frac {1} {2} \ sin \ theta). [/ matemáticas]

Para obtener [matemáticas] \ theta [/ matemáticas], podemos usar la regla del coseno en el triángulo que une uno de los dos puntos de intersección y los centros de los dos círculos, para obtener:

[matemáticas] \ cos (\ theta / 2) = \ dfrac {d ^ 2 + r_1 ^ 2-r_2 ^ 2} {2dr_1}. [/ matemáticas]

A partir de aquí, se puede encontrar [math] \ theta [/ math] y, en consecuencia, también se pueden deducir las áreas que desea.

Dibuja dos círculos que se crucen en dos puntos. Resta el área del círculo A (piensa en el círculo más a la izquierda) del área del círculo B (piensa en el círculo a la derecha), y tienes el área de la porción del círculo A que está a la izquierda del arco que conecta los dos puntos de intersección. Para determinar el área restante del círculo A, lo dejaré como un ejercicio para el lector. Debería ser fácil si comprende la primera parte. ¡Salud!