¿Cuál es la relación entre la teoría de la homotopía y la geometría algebraica?

Answer 1

Hay un montón de relaciones. Déjame tocar dos.

La teoría de la homotopía motívica es una de esas relaciones: se supone que es la “teoría de los esquemas de homotopía”. (Mike Hopkins tiene una buena conferencia aquí: Michael Hopkins – Paquetes de vectores algebraicos y motívicos). Desafortunadamente, no sé nada de esto. Creo que esto también se relaciona con la teoría de la homotopía etale, pero no sé cómo.

Algo de lo que me siento (marginalmente) más calificado para contarte es la teoría de la homotopía cromática. Todo el campo se deriva del resultado monumental de Quillen de que MU_ * es isomorfo al anillo de Lazard (que clasifica las leyes grupales formales 1-d); Esto implica que la especificación MU_ * es el módulo de las leyes de grupo formales. Además, el par (MU_ *, MU_ * MU) forma un algebroid Hopf, y la pila asociada es isomorfa a los módulos de grupos formales. La cohomología de esta pila (con respecto a los poderes tensoriales del fajo de diferenciales invariantes) es exactamente la secuencia espectral Adams-Novikov (ANSS), que converge a los grupos de esferas de homotopía.

Uno puede estratificar los módulos de los grupos formales por altura, y esto a su vez da la “secuencia espectral cromática” que converge a la página E_2 del ANSS basado en MU. Esto permite construir familias de elementos en los grupos de esferas de homotopía de esta manera: los elementos de letras griegas provienen del estudio de las imágenes de ciertos elementos bajo compuestos de mapas de límites de secuencias largas y exactas. (Probar su no trivialidad es difícil; vea el libro verde de Ravenel y / o Miller-Ravenel-Wilson).

El estudio de la estructura “local” de los módulos de grupos formales da lugar a teorías de la cohomología como la teoría E de Morava (que proviene del espacio Lubin-Tate). Estos son espectros de anillo E_oo (probados por Goerss-Hopkins-Miller), por lo que tienen una tonelada de estructura que ayuda cuando se hacen cálculos.

Algo que es de interés para los teóricos de los números también es el mapa del período de Gross-Hopkins: este es un mapa del espacio de Lubin-Tate al espacio proyectivo, que se convierte en etale después de pasar a la fibra genérica adic. (Creo que el documento original de Gross-Hopkins es un buen lugar para leer sobre esto, pero no lo he resuelto. Aprendí sobre esto al examinar un montón de documentos, pero Scholze-Weinstein ayudó mucho). , Gross y Hopkins demostraron una declaración muy intrigante acerca de cierto elemento K (n) localmente invertible. Probaron algo inquietantemente similar a la dualidad de Serre. Que yo sepa, no hay explicación para esto. (Relacionado con esto: trabajé en un proyecto el semestre pasado que intenta entender esto desde la perspectiva de la geometría algebraica derivada, explicada a continuación, que he escrito en http://www.mit.edu/~sanathd/deri… Si encuentra errores o tiene algún comentario, ¡contáctenos!)

Si M es una pila de módulos (liso, Deligne-Mumford) (sobre Z_p), se puede construir una estructura de fajos de anillos E_oo en M si el espacio tangente en cada punto se parece a la teoría E de Morava: más precisamente, tal estructura la gavilla existe si M admite un mapa formalmente etale a los módulos de grupos p-divisibles unidimensionales (este es un teorema de Lurie). La pila M junto con esta gavilla de estructura “derivada” se denomina pila derivada y marca la base de la geometría algebraica derivada. (No todas las pilas admiten una elevación: la propiedad de ser un anillo E_oo es muy restrictiva y, en particular, no da mucho margen de maniobra para la ramificación. Hopkins ha demostrado que KU ^ _p [zeta_p] no admite la estructura de un anillo E_oo, por lo que Spf Z_p [zeta_p] no se eleva a un esquema derivado).

De todos modos, la aplicación del teorema de Serre-Tate nos dice, por ejemplo, que hay un fajo de anillos E_oo en los módulos de curvas elípticas M_ {ell}; Las secciones globales de esta estructura de gavilla son el espectro E_oo-ring conocido como TMF. (Esa no es la construcción original, pero esta definitivamente es mucho más ingeniosa). Este es un espectro muy importante, por ejemplo, la estructura de los grupos de homotopía de TMF fue utilizada recientemente por Wang-Xu para demostrar que, en la dimensión 61, múltiple homeomorfo a S ^ {61} es diffeomorphic a S ^ {61}. También ha llevado a un montón de resultados geniales sobre los grupos de esferas de homotopía.

Aún más algebraicamente, uno puede construir cosas conocidas como “variedades Shimura”: estas son pilas de módulos que clasifican las variedades abelianas cuya teoría de deformación está controlada por un grupo divisible p unidimensional. Según el teorema de Lurie, obtenemos un espectro llamado TAF. No se sabe mucho sobre este espectro, según tengo entendido. Un buen lugar para aprender sobre esto, completo con antecedentes algebro-geométricos y teóricos de números, es el libro de Behrens-Lawson sobre este tema.

Aquí hay algunas referencias para la teoría de la homotopía (cromática):

* “Notes on cobordism” de Haynes Miller (http://math.mit.edu/~hrm/papers/…), que es una gran introducción a la teoría de la homotopía cromática que comienza desde cero.

* “Libro azul” de Adams, titulado “Homotopía estable y homología generalizada”. Famosamente, este libro debe leerse comenzando desde el tercer capítulo, luego el segundo y terminando con el primero.

* El “Libro naranja” de Ravenel (Nilpotence y periodicidad en la teoría de la homotopía estable), que comienza desde lo básico y continúa (esboza las pruebas de) un montón de grandes teoremas en la teoría de la homotopía cromática.

* El “Libro verde” de Ravenel (Cobordismo complejo y grupos de esferas de homotopía estable): esto es muy técnico, pero comienza con la secuencia espectral de Adams y pasa a aspectos altamente computacionales de la teoría de la homotopía.

Algunas referencias para TMF:

* http://www.math.harvard.edu/~lur… es una gran introducción, que supone poco conocimiento de la topología algebraica, pero una buena cantidad de geometría algebraica.

* Los procedimientos de TMF, que es una colección de notas de una conferencia sobre TMF de 2007.

* Documento de Goerss sobre TMF

* http://www.mit.edu/~sanathd/alge… son notas de conferencias que escribí, de dos conferencias que di en la Universidad de Emory este verano; Ofrecen una visión general más amplia y menos computacional de la historia cromática. Esto todavía está en progreso, así que me encantaría recibir comentarios.

Answer 2

La geometría algebraica y la teoría de la homotopía disfrutan de una rica interacción. Su relación se puede ver en parte en dos emocionantes campos de las matemáticas, que surgieron recientemente.

Existe una teoría de homotopía de esquemas suaves: teoría de homotopía motívica. No hace mucho tiempo, Voevodsky demostró la conjetura (motívica) de Bloch-Kato utilizando técnicas motívicas de este tipo [1], por la cual ganó una medalla Fields [1]. Podemos pensar en la teoría de la homotopía motívica como geometría algebraica dentro de la teoría de la homotopía, o el uso de la teoría de la homotopía para estudiar la geometría algebraica.

La geometría algebraica derivada es otra exploración contemporánea de la relación entre estos dos sujetos. El tono de diez segundos es simple: no tome anillos conmutativos como objetos fundamentales de la geometría algebraica; utilice espectros de anillo conmutativos, en su lugar [2]. Aquí pasamos de la geometría algebraica a la teoría de la homotopía, la geometría algebraica de homotopía. DAG interactúa con Langlands geométricos [2]; en particular, podemos hablar de la correspondencia geométrica de Langlands con respecto a cierta categoría derivada. Bhatt ha utilizado sus métodos para probar (no necesariamente nuevos) resultados en la teoría de p-adic Hodge, por ejemplo, la conjetura cristalina de Fontaine [3].

Notas

[1] En realidad, Voevodsky demostró primero el caso especial de la conjetura de Milnor. Fue este trabajo el que le consiguió los Campos. Tanto los casos especiales como los generales requerían una teoría de la homotopía motívica, aunque este último requería más maquinaria.

[2] Esta es una tendencia. Por ejemplo, hay intentos de considerar los anillos no conmutativos en lugar de los anillos conmutativos como objetos fundamentales de la geometría algebraica [4].

Notas al pie

[1] https: //faculty.math.illinois.ed …

[2] http://www.math.harvard.edu/~gai …

[3] [1204.6560] p-adic derivado de la cohomología de Rham

[4] [matemáticas / 0501166] En algunos enfoques hacia la geometría algebraica no conmutativa

Answer 3

Tal vez pueda agregar a las respuestas de Joseph y Sanath dando una intuición de por qué la teoría de la homotopía debería tener alguna influencia en la geometría algebraica (y particularmente en la geometría aritmética). Se sabe desde hace bastante tiempo que la topología dicta la aritmética , en el sentido que las propiedades topológicas de una variedad deberían ser el primer guardián en comprender los puntos racionales de la variedad.

Los ejemplos más bien entendidos de este eslogan son las curvas: sobre los números racionales, una curva del género cero no tiene puntos racionales o infinitamente muchos; una curva de género no puede tener ninguna, finitamente muchas o infinitamente muchas; una curva de género mayor que uno tiene solo finitamente muchos. Estas declaraciones son, en orden, fáciles, medianas y realmente difíciles de probar.

Por lo tanto, las propiedades algebro-geométricas (en este caso, el grupo fundamental) son realmente el factor determinante en cualquier comprensión (aproximada) de los puntos racionales en una curva. Pero tenga en cuenta que, incluso aquí, no es inmediato que nuestra variedad forme un buen espacio topológico: tenemos que tomar sus puntos complejos y ponerles una topología analítica.

Ese mismo problema, donde la topología debería determinar la aritmética, pero no es obvio cómo entender una lista de ecuaciones desde un punto de vista topológico, también aparece en la prueba de Weil de la hipótesis de Riemann. No describiré todo esto aquí, porque está en todo Internet, pero básicamente la escuela de Grothendieck tuvo que definir teorías de cohomología que abarcarían variedades en campos finitos y escupirían información aritmética. Ahora no sé sobre usted, pero muchos puntos definidos sobre un campo finito es probablemente el objeto menos interesante desde el punto de vista homotópico que pueda imaginar. Pero una vez que recordamos que las variedades son más que un conjunto de puntos (las ecuaciones en sí mismas son realmente la parte importante), podemos definir una teoría de la cohomología significativa.

Una propiedad interesante de étale cohomology que nos sugiere que está sucediendo algo homotópico es que su valor en una variedad X es el mismo que su valor en el producto de fibra de X y la línea afín. A pesar de que toda esta maquinaria es algebraica, ¡esto básicamente dice que la cohomología étale es invariante para la homotopía! (En el mundo topológico normal, un espacio X es una fuerte retracción de deformación del producto de X y el intervalo de la unidad, por lo que la propiedad análoga se mantiene para cualquier teoría de cohomología allí).

Nuevamente, no es obvio cómo dar sentido topológico a un grupo de ecuaciones, pero la recompensa (la hipótesis de Riemann sobre campos finitos) fue increíble. Ahora, a la manera de Grothendieck, tenemos que tomar una decisión: ¿entenderemos estas interacciones entre la teoría de números y la topología como meras analogías, o deberíamos buscar un lugar en el que uno pueda hablar con facilidad sobre el tipo de homotopía de un esquema? ? ¿Nuestras investigaciones se detienen con los análogos de la cohomología singular, o buscan teorías extraordinarias de cohomología para esquemas?

Afortunadamente para la comunidad matemática, muchas personas han trabajado para llevar las analogías a teoremas concretos. Hoy en día se puede hablar del tipo de esquema de homotopía étale, numerosas teorías de cohomología y su representabilidad, y casi cualquier otra cosa que pueda desear.

Aquí hay algunas referencias para leer más.

[1] Tesis de habilitación de Bertrand Toën, “Estructuras homotópicas y categóricas superiores en geometría algebraica:” http://www.math.univ-toulouse.fr …

[2] Me encanta esta encuesta de Levine, “Motivic Homotopy Theory:” http://www.math.unam.mx/javier/l …