¿Cómo encuentro las posibles coordenadas de R?

Answer 1

Si bien esto se presenta como un problema vectorial, me gustaría demostrar cómo se puede resolver únicamente con los principios de trigonometría.

La función seno es positiva en los Cuadrantes I y II del plano cartesiano – valores y positivos – y para un valor seno dado, hay un máximo de dos ángulos posibles, en posición estándar, que producen este valor. Para calcular las coordenadas como se describe, podemos resolver el ángulo en QI y cambiar el signo del valor de x para encontrar las coordenadas en QII.

Para plantear el problema, construimos un triángulo rectángulo en QI, delimitado por el eje x positivo, el segmento OR y un segmento vertical que conecta el punto R con el eje x en (x, 0); llámelo punto S.

El seno de [math] \ theta [/ math] es la relación del opuesto y la hipotenusa de este triángulo:

[matemáticas] \ sin \ theta = \ frac {opp} {hyp} = \ frac {2} {3} = \ frac {SR} {OR} = \ frac {SR} {3} [/ math]

A partir de esta proporción, debe quedar claro que SR = 2, dándonos la coordenada y del punto R.

Ahora tenemos un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud 3, una pata de longitud 2 y la longitud restante de la pata por determinar. El teorema de Pitágoras nos dice [matemáticas] (SR) ^ 2 + 2 ^ 2 = 3 ^ 2 [/ matemáticas], produciendo [matemáticas] SR = \ sqrt {5} [/ matemáticas].

Por lo tanto, un posible par de coordenadas para el punto R es [math] (\ sqrt {5}, 2) [/ math], y el otro es [math] (- \ sqrt {5}, 2) [/ math].

Answer 2

[matemáticas] x = | OR | \ cos \ theta [/ math] y [math] y = | OR | \ sin \ theta [/ math]

Si [math] \ sin \ theta = \ frac23 [/ math] entonces [math] \ theta [/ math] está en el primer o segundo cuadrante, por lo que [math] \ cos \ theta [/ math] puede ser positivo o negativo.

[matemáticas] \ cos \ theta = \ pm \ sqrt {1 – \ sin ^ 2 \ theta} = \ pm \ sqrt {1 – \ frac49} = \ pm \ frac {\ sqrt {5}} {3} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la coordenada x es [matemática] \ pm \ frac {\ sqrt {5}} {3} \ times 3 = \ pm \ sqrt {5} [/ matemática] y la coordenada y es [matemática] \ frac23 \ times 3 = 2 [/ math]

Entonces, las posibles coordenadas son [math] (\ sqrt {5}, 2) [/ math] y [math] (- \ sqrt {5}, 2) [/ math]

Answer 3

efectivamente estás convirtiendo coordenadas polares a cartesianas. En este caso, r = 3 y theta se define implícitamente por sin (theta) = 2/3. En general, x = r * cos (theta) e y = r * sin (theta) son las formas explícitas para convertir de polar a cartesiano y r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2), theta = arctan (y / x) hace lo contrario. En cuanto a cuántas soluciones hay y dónde, intente calcular cuántos valores de theta (de 0 a 2pi) tienen sin (theta) = 2/3.