¿Cómo sabemos qué estructura tiene una dimensión?

Entonces, hay un método en matemáticas, llamado proceso de Gram-Schmidt, Wikipedia, que le permite crear un conjunto de vectores ortogonales (o incluso ortonormales) a partir de cualquier vector que abarque un espacio vectorial.

En esencia, si tiene algún conjunto finito de vectores (supongamos que son linealmente independientes, si no, hágalos así), entonces este procedimiento le proporciona un algoritmo para transformar ese conjunto de vectores en un nuevo conjunto de vectores ortonormales. Ese nuevo conjunto abarcará exactamente el mismo espacio que el conjunto original. Estos vectores ortonormales presentarán espacios que se parecen a lo que dijo en los detalles.

Lo que esto significa es que un espacio tridimensional no tiene que ‘verse’ como una pila de planos bidimensionales, es solo que con una descripción ortonormal se ve así. Y debido a que las descripciones ortonormales son realmente fáciles de trabajar matemáticamente (y dado que siempre es posible crear tal base), no hay razón para considerar otra cosa.

Pero si lo desea, también puede describir un espacio 3D como un montón de esferas concéntricas cada vez más grandes o cada vez más pequeñas alrededor del origen. O un conjunto de cilindros concéntricos cuyo radio y altura siempre está creciendo / disminuyendo también. Puede hacerlo, y para problemas físicos avanzados eso es aún más útil. Tenga en cuenta que en estas descripciones las tres dimensiones (r, \ theta, \ phi para las esferas, r, \ theta, z para los cilindros, siguen siendo descripciones ortonormales)

También podría describir espacios con una base que no sea ortogonal, que se vería extraño. Por ejemplo, simplemente dibuje un plano xy con x e y ortogonales, luego dibuje los vectores (1,1) y (1,2). Ahora borre los ejes xy y llame a esos dos nuevos vectores u y v, donde se cruzan siendo el origen. Ahora puede expresar cada punto / línea / figura en términos de u y v, pero como probablemente notará, es muy contradictorio. En parte porque estamos acostumbrados a la base ortogonal, por supuesto.