Tenemos dos segmentos de línea [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática]. [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática] son paralelas en el plano cartesiano separadas por cierta distancia [matemática] \ epsilon [/ matemática]. Este problema está relacionado con la diferencia entre las coordenadas [matemáticas] x [/ matemáticas] en las líneas [matemáticas] X [/ matemáticas] y [matemáticas] Y [/ matemáticas], por lo que ganó [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas] en realidad no importa. Tiene sentido que [math] x [/ math] -coordina tanto en [math] X [/ math] como [math] Y [/ math] se distribuyan de manera uniforme, lo que significa que todos los valores [math] x [/ math ] puede tomar [math] X [/ math] son igualmente probables, y todos los valores [math] y [/ math] pueden tomar [math] Y [/ math] son igualmente probables. Sin embargo, estoy más interesado en la información entre [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]. Considere entonces el vector o el par de coordenadas [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas]. Intentemos dibujar sus casos arriba usando esta nueva representación vectorial. Todavía quiero utilizar el plano cartesiano, así que hagamos que [math] y [/ math] viva en el eje [math] y [/ math]. Aquí está el caso 1, dibujado en DESMOS:
Y usted dijo que para este caso, la probabilidad de algunos [matemática] x [/ matemática] [matemática] \ gt y [/ matemática] es [matemática] 0 [/ matemática] ya que [matemática] y [/ matemática] siempre ser mayor que [matemáticas] x [/ matemáticas]. Esto tiene sentido porque cualquier vector que dibujemos, nuestra segunda coordenada [matemática] y [/ matemática], siempre será mayor que nuestra primera coordenada [matemática] x [/ matemática]. Aquí hay algunos vectores de ejemplo que podrían construirse. El cuadro amarillo es el espacio completo de todas nuestras coordenadas.
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Ahora consideremos el caso 2, dibujado en DESMOS:
Aquí dijimos que la probabilidad de que [matemáticas] x [/ matemáticas] sea mayor que [matemáticas] y [/ matemáticas] es [matemáticas] 1 [/ matemáticas].
Algo interesante está sucediendo aquí. Parece que nuestros vectores tienen una buena idea de si una coordenada será mayor que otra. Quizás vea mi punto si agrego la línea [matemáticas] y [/ matemáticas] [matemáticas] = x [/ matemáticas] a ambos diagramas.
Parece que cada vez que nuestras áreas doblemente sombreadas están debajo de la línea magenta, cumplimos la condición donde [math] x [/ math] [math] \ gt y [/ math]. Probemos nuestra hipótesis en el caso 3.
Interesante, exactamente la mitad del área sombreada está debajo de nuestra línea, tal como lo había predicho nuestra probabilidad de [matemática] 0.5 [/ matemática]. Todo lo que necesitamos hacer ahora es expandir este método a cualquier opción de área sombreada, es decir, cualquier opción para [matemáticas] X [/ matemáticas] y [matemáticas] Y [/ matemáticas].
Necesitamos calcular el área cerrada debajo de [matemática] y [/ matemática] [matemática] = x [/ matemática] como una relación del área completa encerrada por los dos límites. Esto nos dirá cuándo [matemáticas] x [/ matemáticas] [matemáticas] \ gt y [/ matemáticas]. De aquí en adelante, es solo cálculo. Tendremos que evaluar dos integrales:
- el área compartida debajo de la línea [matemática] y [/ matemática] [matemática] = x [/ matemática] y el área compartida total entre [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática],
- y el área total del área compartida entre [matemáticas] X [/ matemáticas] y [matemáticas] Y [/ matemáticas].
Trabajemos en 2. primero:
[matemáticas] \ displaystyle \ int_c ^ d \ int_a ^ b \, dx \, dy = (ba) (dc) \ tag {1} [/ math]
Ahora en 1. que es la integral más difícil:
Para esta integral, depende del aspecto de su área. Por ejemplo,
su integral sería:
[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 3 (x-0) \, dx + \ int_3 ^ 4 (3-0) \, dx = 7.5 \ tag {2} [/ matemáticas]
Sabiendo que el área total es [matemática] 4 \ veces3 = 12 [/ matemática], la probabilidad de que un punto del segmento [matemática] X [/ matemática] sea mayor que un punto del segmento [matemática] Y [/ matemática] es [matemáticas] \ frac {7.5} {12} = 62.5 \% [/ matemáticas].
En general, su integral debería verse así:
[matemáticas] \ displaystyle \ int_a ^ p ((y = x) – (y = c)) \, dx + \ int_p ^ b ((y = d) – (y = c)) \, dx \ tag {3 }[/matemáticas]
que se simplifica a
[matemáticas] \ displaystyle \ int_a ^ p (xc) \, dx + \ int_p ^ b (dc) \, dx \ tag {4} [/ matemáticas]
donde [matemática] a [/ matemática] es el valor más pequeño en [matemática] X [/ matemática] y [matemática] p [/ matemática] es algún valor intermedio entre [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [ / math] donde [math] f (x) [/ math] cambia, y [math] c [/ math] es el valor más pequeño en [math] Y [/ math], y [math] d [/ math] es el mayor valor en [matemática] Y [/ matemática]. Dibujar la geometría o al menos mapearla en tu cabeza te dará un lugar para comenzar con las integrales.
Luego toma el valor de esta expresión y la divide de la expresión obtenida en 2. y tendrá su probabilidad. Tenga en cuenta que este método para encontrar el área bajo la curva también funciona para dominios y rangos negativos. Solo asegúrese de restar las funciones correctas entre sí en las integrales.
