Un círculo toca la parábola y ^ 2 = 4ax en P. También pasa a través del foco de la parábola e intersecta su eje en Q. Si el ángulo SPQ es 90 grados, ¿cuál es la ecuación del círculo?

Answer 1

SPQ = 90 grados, si dibuja esto, notará que usando teoremas de círculo la línea SQ debe ser el diámetro del círculo, esto es bueno ya que sabemos que la coordenada y del centro del círculo debe ser 0 con solo mirar a esto

Sabemos que el círculo toca la parábola sobre el eje x que, por simetría, nos dice que lo hace debajo del eje x en la misma coordenada x con la coordenada -y del punto de intersección sobre el eje y. También podemos decir que a + r es la coordenada x del centro del círculo, ya que el foco (a, 0) debe estar a una distancia r del centro a lo largo del eje x, ya que comparten la misma coordenada y.

[matemática] y ^ 2 = 4ax [/ matemática] y [matemática] (x- (a + r)) ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática]

con esto podemos juntar los dos para encontrar que

[matemáticas] r ^ 2 = (x- (a + r)) ^ 2 + 4ax [/ matemáticas]

expandiendo y simplificando esto puede obtener el cuadrático:

[matemáticas] x ^ 2 + (4a – 2 (a + r)) x + (a + r) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Ya sabemos con certeza que esto tiene 1 solución para x ya que solo hay 1 coordenada x en la que se cruzan los 2 (dice que se tocan, lo que significa esto), por lo que podemos decir que:

[matemáticas] b ^ 2 – 4ac = 0 [/ matemáticas]

[matemática] (4a-2 (a + r)) ^ 2 – 4 ((a + r) ^ 2 -r ^ 2) = 0 [/ matemática]

simplificar para obtener:

[matemáticas] 4a ^ 2 – 8ar + 4r ^ 2 = 4a ^ 2 + 8ar [/ matemáticas]

[matemáticas] r = 4a [/ matemáticas]

Ahora podemos volver a poner esto en nuestra ecuación circular y obtener:

[matemáticas] (x-5a) ^ 2 + y ^ 2 = 16a ^ 2 [/ matemáticas]

Puede poner esto en desmos en línea y hacer una barra deslizante para a y probar cualquier valor de a, encontrará que siempre se intersectará solo una vez y siempre encontrará el eje x en (a, 0).