¿Cuál es el mayor entero que divide [matemáticas] p ^ 4 -1 [/ matemáticas] por cada número primo [matemáticas] p [/ matemáticas] mayor que 5?

Answer 1

Como [math] p [/ math] es un primo mayor que [math] 5 [/ math], [math] \ gcd (p, 2) = \ gcd (p, 3) = \ gcd (p, 5) = 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto

• [matemáticas] p ^ 2 \ equiv 1 \ bmod {8} [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] p ^ 4 \ equiv 1 \ bmod {16} [/ matemáticas].
• [matemáticas] p ^ 2 \ equiv 1 \ bmod {3} [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] p ^ 4 \ equiv 1 \ bmod {3} [/ matemáticas].
• [matemáticas] p ^ 4 \ equiv 1 \ bmod {5} [/ matemáticas].

Por lo tanto, [math] 240 = 3 \ cdot 5 \ cdot 16 \ mid (p ^ 4–1) [/ math] para todos los números primos [math] p> 5 [/ math].

Ahora [matemáticas] 7 ^ 4–1 = 2 ^ 5 \ cdot 3 \ cdot 5 ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 11 ^ 4–1 = 2 ^ 4 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 61 [/ matemáticas ] muestra que [math] 240 [/ math] es el número más grande que divide [math] p ^ 4–1 [/ math] por cada primo [math] p> 5 [/ math]. En otras palabras,

[matemáticas] \ gcd \ {p ^ 4-1: p \: \ text {es primo}, p> 5 \} = 240 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Utilizaremos algunos resultados de gran potencia.

1. Teorema de Dirichlet: para cualquier k, a con (k, a) = 1, hay infinitos números primos de la forma (kt + a) para algún número entero t.

2. Para cualquier primo p, existe un módulo raíz primitivo p, es decir, un número g tal que g ^ (p-1) = 1 módulo p pero g ^ (k)> 1 módulo p para cualquier 0

Supongamos que el primo q divide p ^ 4–1 para cualquier p. Nos dividimos en casos.

1. q> 3. Luego, según el teorema de dirichlets, existe un primo mayor que 5, b, de la forma tq + g, donde g es un módulo raíz primitivo q. Entonces debemos tener q-1 | 4, o q = 5 (recuerde que q> 3). El mayor exponente de 5 que divide todos esos números es 1, como 11 ^ 4 -1 = 14640.

2. q = 3. Entonces, para cualquier primo p, p ^ 4–1 es un múltiplo de 3 por análisis de caso simple. Nuevamente, el mayor exponente de 3 que divide dicha expresión es 1, ya que 9 no divide 14640.

3. q = 2. Afirmo que el mayor exponente de 2 es 4. En cuanto a cualquier número impar k, 8 | k ^ 2–1 y 2 | k ^ 2 +1, 16 se divide en la expresión para cualquier primo mayor que 5. Dado que 32 no divide 19 ^ 4–1, el mayor exponente de dos es 4.

Al juntar los resultados, vemos que el máximo común divisor es (2 ^ 4) (3 ^ 1) (5 ^ 1) = 240.

Otra forma de resolver q> 5 sin utilizar ningún resultado en raíces primitivas es notar que x ^ 4–1, siendo un polinomio de grado 4 en el módulo de campo finito p, puede tener como máximo 4 raíces módulo q. Por lo tanto, para q> 5, existe un número 0 5 pueden dividir cada término de la secuencia.