¿Hay infinitos números primos [matemática] p [/ matemática] de modo que [matemática] p ^ 2-2 [/ matemática] también sea un número primo?

Answer 1

Probablemente. Mira el argumento aquí: ¿Hay infinitos números primos de la forma [matemáticas] p ^ 2-p + 1 [/ matemáticas], donde [matemáticas] p [/ matemáticas] también es un número primo?

Básicamente, cualquier [matemática] p ^ 2 + n [/ matemática] (donde [matemática] n [/ matemática] es par) es probable que sea primo con frecuencia infinita, ya que la densidad de primos de esta forma ingenuamente es como [matemática] \ frac {1} {\ left (\ log {p} \ right) ^ 2} [/ math], y sumando esto sobre [math] p [/ math] no converge.

Por supuesto, esto no es una prueba, y podría haber algún tipo de problema de divisibilidad después de algunos grandes [math] p [/ math]. Sin embargo, esto no sucede en pequeñas [matemáticas] p [/ matemáticas]. Aquí está el código de Mathematica que usé para verificar hasta el número primo millonésimo:

  Para [i = 1, i <= 10 ^ 6, i ++,
	 Si [PrimeQ [Prime [i] ^ 2-2],
		 Imprimir [Prime [i]]
	 ];
 ];

Answer 2

Eso se clasifica actualmente como una conjetura. No ha sido probado (o si lo ha sido, la prueba no ha sido publicada ;-). Muchos matemáticos apostarían al menos una pequeña cantidad de dinero a que sea cierto, pero eso no califica como una prueba matemática.

Answer 3

Espero que también pregunte en la sección de matemáticas en stackoverflow.com. Esto suena tan intratable como la conjetura de Legendre (hay al menos un primo entre n y [matemáticas] n ^ 2) [/ matemáticas]