¿Cuál es la diferencia entre [math] \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} [/ math] y [math] \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} [/ math]?

Answer 1

Para ampliar algunas de las respuestas aquí, la principal diferencia entre [matemáticas] a \ cdot b [/ matemáticas] y [matemáticas] a \ veces b [/ matemáticas] es que la primera es un escalar y la segunda es un vector .

Comencemos con el producto punto. Esto representa el producto escalar (o producto interno) de dos vectores. Devuelve el producto “ingenuo” de dos vectores. Es decir, [math] a \ cdot b = \ sum_ {i = 1} ^ {n} (a_i) (b_i) [/ math]. Un comentario importante es que esto es solo un número. Puede representar varias propiedades físicas diferentes según el contexto para el que esté utilizando los vectores. También relacionado, [matemáticas] a \ cdot b = \ mid a \ mid \ mid b \ mid \ cos (\ theta) [/ math] donde [math] \ theta [/ math] es el ángulo entre los dos vectores.

El producto cruzado es diferente. Se define como el determinante de

[matemáticas] \ begin {pmatrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \ end {pmatrix} [/ math]

Esto devuelve un vector . Del mismo modo, [matemáticas] \ mid a \ times b \ mid = \ mid a \ mid \ mid b \ mid \ sin (\ theta) [/ math] donde [math] \ theta [/ math] es como antes.

Estos son los conceptos básicos del cálculo vectorial: productos de puntos y cruzados.

Answer 2

Tanto [math] a \ cdot b [/ math] como [math] a \ times b [/ math] pueden usarse para significar la multiplicación “normal” de a y b.

No se sabe exactamente de dónde proviene [math] \ times [/ math] pero fue utilizado por primera vez por el matemático inglés William Oughtred.

Leibniz (el matemático alemán, no la galleta), por otro lado, no le gustaba mucho [matemáticas] \ veces [/ matemáticas] ya que se confundía fácilmente con una x. Entonces él prefería [math] \ cdot [/ math]. Lo más probable es que esta sea la razón por la que [matemáticas] \ cdot [/ matemáticas] sigue siendo la notación preferida para la multiplicación en Alemania.

Ambos son iguales en uso. Puede pensar en ellos como un tipo diferente de ortografía. Al igual que los británicos deletrean color, pero los estadounidenses escriben color.

Por supuesto, ese es solo un lado de la historia.

[matemática] a \ cdot b [/ matemática] también puede significar el producto escalar (o producto escalar) entre dos vectores.

[math] a \ times b [/ math] por otro lado, también puede significar el producto cruzado entre dos vectores en un espacio tridimensional.

Para resumir, puede haber una pequeña diferencia entre [math] \ times [/ math] y [math] \ cdot [/ math] o ninguna en absoluto. Todo depende del contexto. Para evitar confusiones, siempre debe asegurarse de que esté claro qué significado pretendía, ya sea porque es obvio en el contexto o (preferiblemente) simplemente expresándolo.

Answer 3

Probablemente necesite proporcionar más información. ¿Quiere decir la “diferencia” entre dos notaciones para la misma operación de multiplicación, es decir, 2. 3 = 2 x 3 = 6, o la diferencia entre los productos punto y cruz de los vectores?

Si este último, eche un vistazo a:

15 – Es Space Jim …

Y desplácese hacia abajo hasta “Ser productivo”.