¿Cuándo y por qué se usa determinante en matemáticas? ¿Cuál es su uso práctico?

Answer 1

Honestamente, el mejor uso práctico para el determinante, al menos en mi caso, es encontrar los valores propios de una matriz, y determinar los valores propios de las matrices es un gran problema .

“Pfft … ¿cuál es el problema con los valores propios?”

De Eigenvalue – de Wolfram MathWorld:

La determinación de los valores propios (y vectores propios) de un sistema es extremadamente importante en física e ingeniería, donde es equivalente a la diagonalización de la matriz y surge en aplicaciones tan comunes como el análisis de estabilidad, la física de cuerpos rotativos y pequeñas oscilaciones de sistemas vibratorios. por nombrar solo algunos.

Parece que estoy justificado para hacer un escándalo sobre los valores propios, entonces.

“Pero, ¿cuál es la conexión entre los valores propios y los determinantes?”

Los valores propios de una matriz [matemática] A [/ matemática] son ​​las raíces del polinomio [matemática] \ det (xI-A) [/ matemática], donde [matemática] I [/ matemática] es la matriz de identidad.

No es de extrañar, entonces, que Sheldon Axler, la persona que escribió este artículo para (tratar de) evitar por completo los determinantes del álgebra lineal, procediera primero a definir valores propios sin usar determinantes. Luego, después de probar los resultados relevantes relacionados con los valores propios (y los vectores propios), termina el trabajo definiendo el determinante como el producto de los valores propios de la matriz. El hecho mismo de que Axler se preocupara principalmente por los valores propios cuando intentaba deshacerse de los determinantes muestra cómo estos dos conceptos están inmensamente relacionados entre sí.

Answer 2

El determinante de una matriz proporciona información sobre cómo la transformación lineal asociada cambia el área / volumen de una unidad cuadrado / cubo / hipercubo. Cuando el determinante es cero, la transformación “colapsa” el cubo en un subespacio de dimensión inferior (y la transformación asociada no es invertible).

En el cálculo multivariable, un cambio de variables está asociado con una matriz llamada jacobiana. El determinante del jacobiano introduce un factor que se ajusta a los cambios locales en el área / volumen (Cambio de variables) en la transformación integral asociada.

En la teoría de las redes, dos bases para una red dada siempre están relacionadas por una matriz con determinante [math] \ pm 1. [/ math] Además, el valor absoluto del determinante de una base para una red es invariante bajo el cambio de base (por la razón anterior). Este enrejado invariante es una cantidad importante al tratar de resolver el problema de vector más corto, que tiene aplicaciones en criptografía de prueba cuántica.

El signo del determinante revela si una transformación lineal invierte la orientación de las figuras (determinantes y transformaciones lineales).

Las matrices con determinante tienen una variedad de propiedades especiales y útiles (Grupo lineal especial – Wikipedia). Por ejemplo, las transformaciones lineales reales con el determinante 1 son exactamente el volumen y la orientación que preservan las transformaciones. ¡Cuando mueves una taza de café en tu mano, estás ejecutando una transformación del determinante 1!

El determinante de una matriz de covarianza proporciona información sobre una distribución gaussiana multivariada, como la entropía diferencial (¿Qué da la Determinante de la matriz de covarianza?).

Answer 3

El determinante de una matriz es el factor de escala total, la cantidad que tiene la propiedad

[matemáticas] \ det (AB) = \ det (A) \ det (B) [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow \ det (A ^ n) = \ det (A) ^ n [/ math]

Una matriz solo es invertible si el determinante es distinto de cero

Supongamos que [matemática] A ^ {- 1} [/ matemática] existe entonces

[matemáticas] A ^ {- 1} A = AA ^ {- 1} = I [/ matemáticas]

[matemáticas] \ det (A ^ {- 1} A) = \ det (AA ^ {- 1}) = \ det (I) = 1 = \ det (A ^ {- 1}) \ det (A) [ /matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ det (A ^ {- 1}) = \ det (A) ^ {- 1} [/ math]

No puedes tomar el recíproco de cero. Por lo tanto, las matrices con determinante cero (conocidas como matrices singulares) no pueden invertirse. Aplastan varias cosas al mismo objeto.

Los valores propios y los vectores propios de una matriz son importantes.

Deje que [math] w_i [/ ​​math] sea un vector propio de [math] A [/ math] con el valor propio correspondiente [math] \ lambda_i [/ ​​math] luego

[matemáticas] Aw_i = \ lambda_i w_i [/ ​​matemáticas]

Si nuestra matriz es diagonalizable, podemos descomponer nuestra matriz en piezas bonitas formadas por los vectores propios [matemática] Q [/ matemática] y una matriz diagonal de nuestros valores propios [matemática] \ Lambda [/ matemática].

[matemáticas] A = Q \ Lambda Q ^ {- 1} [/ matemáticas]

Esto se llama descomposición espectral.

De esta forma, es fácil ver que los valores propios de una matriz son los factores de escala a lo largo de cada uno de los vectores propios y el determinante es el producto de todos los valores propios.

[matemáticas] \ det (A) = \ det (Q) \ det (\ Lambda) \ det (Q ^ {- 1}) = \ det (\ Lambda) = \ prod_i \ lambda_i [/ ​​math]

En general

[matemáticas] \ det (A) = \ prod_i \ lambda_i [/ ​​matemáticas]

Si al menos uno de los valores propios es cero, entonces el determinante es cero y es singular.

Ahora, ¿cómo calculamos esos valores propios y vectores propios para empezar? Usualmente usamos el determinante.

[matemáticas] Aw_i = \ lambda_i w_i \ Leftrightarrow (A – \ lambda_i I) w_i = 0 \ Leftrightarrow \ det (A – \ lambda_i I) = 0, w_i \ in \ mathcal {N} (A – \ lambda_i I) [ /matemáticas]

Es decir, resolvemos cuándo el determinante es cero para calcular los valores propios, y luego encontramos los vectores propios al observar el espacio nulo de [math] (A – \ lambda_i I) [/ math]

¿Por qué son útiles los valores propios y los vectores propios? Los problemas de física pueden formularse como problemas propios; la mecánica cuántica se basa mucho en esta idea. Gráficos por computadora, análisis de datos, motores de búsqueda como Google, etc.

Answer 4

Se utiliza para invertir matrices (regla de Cramer).