¿Sería justo decir que la mayoría de las veces las teorías matemáticas no se realizan en la aplicación hasta mucho después de que se formalizaron teóricamente? ¿O es frecuente que las matemáticas se formulen / descubran para aplicar un fenómeno?

Primero, déjenme estar en desacuerdo con su término “teorías matemáticas”. Las matemáticas no tienen teorías, sino pruebas. Si un resultado matemático no se puede derivar rigurosamente del trabajo anterior, entonces no tiene lugar en el cuerpo del conocimiento conocido como matemáticas.

Por otro lado, se ha dicho con razón, que ningún resultado matemático tiene ninguna relevancia real para el universo real. Se ha descubierto que las matemáticas simplemente describen con precisión el universo tal como lo conocemos.

Para responder la pregunta directamente, gran parte de la matemática pura es abstracta. Con frecuencia, ninguna aplicación del nuevo resultado será inmediatamente obvia.

Un buen ejemplo de esto serían los números primos. La investigación de los matemáticos sobre los números primos ha estado en curso durante más de un siglo, generalmente por el desafío intelectual que presentan. Hasta hace relativamente poco, tenían muy poca relevancia para la vida diaria. Ahora, el algoritmo de encriptación que utiliza su computadora para asegurar sus transacciones en Internet utiliza el hecho de que el producto de dos números primos muy grandes es extremadamente difícil de factorizar. Los datos pueden codificarse utilizando el producto (la clave pública), pero solo pueden decodificarse utilizando los dos primos individuales (la clave privada).

A veces es al revés. Para manejar eficientemente las conversaciones telefónicas digitalizadas, se encontró necesario eliminar los componentes de alta y baja frecuencia. Esto requirió una transformación matemática conocida como Transformada de Fourier. En una computadora, este fue un proceso muy lento, y el tiempo requerido aumentó a medida que el cuadrado del número de muestras utilizadas. Luego, a fines de la década de 1960, un grupo de matemáticos dirigidos por Tukey resolvió la Transformada rápida de Fourier. Esto era lo que buscaba la industria de las comunicaciones y revolucionó las comunicaciones digitales.

Una respuesta completa a la pregunta original: a veces de una manera, a veces de otra.