Se inscribe un triángulo equilátero en un círculo con un radio de 10 cm y se inscribe un cuadrado en este triángulo. ¿Cuál es el área del cuadrado?

Answer 1

DADO: Un triángulo equilátero ABC, inscrito en un círculo con centro O, radio = 10 cm. Y s cuadrado DEFG está inscrito en el triángulo.

Por lo tanto, O es circun centro y centroide del triángulo. AM es bisectriz perpendicular de BC. & AM también es una mediana. Y el centroide divide la mediana en la proporción 2: 1

=> AO: OM = 2: 1, radio BO = AO = 10cm y OM = 5cm

En el triángulo rectángulo OMB, OB² = OM² + BM²

=> 10² = 5² + BM²

=> BM² = 75

=> BM = 5√3

Entonces, BC = 10√3 cm (ya que M es el punto medio de BC)

Ahora, en el triángulo rectángulo DEB

tan 60 ° = DE / BE = √3 / 1

Por lo tanto, DE = √3x y BE = x

En el cuadrado DEFG, todos los lados son iguales. Entonces, DE = EF = √3x, y BE = CF = x

Desde entonces, BC = BE + EF + FC

=> 10√3 = x + √3x + x

=> 10√3 = 2x + √3x

=> x = 10√3 / (2 + √3)

=> x = 10√3 (2-√3) / (2 + √3) (2-√3)

=> x = 20√3 – 30

Desde, DE = √3x = √3 (20√3–30)

=> DE = 60 – 30√3

=> DE = 60-30 * 1.732

=> DE = 60 – 51.96

=> DE = 8.04

Entonces, área (DEFG cuadrado) = 8.04² = 64.64

Área (squareDEFG) = 64.64 cm² (aprox)

Answer 2

Considere un triángulo equilátero ABC del lado q inscrito en un círculo de radio r:

Como la suma de los ángulos en un triángulo es 180 °, y los ángulos en un triángulo equilátero son iguales, cada ángulo es 60 [matemática] ° [/ matemática] o [matemática] \ frac {\ pi} {3} [/ matemáticas] radianes. Por simetría, el diámetro AD biseca [matemática] \ ángulo [/ matemática] BAC y, por lo tanto, [matemática] \ ángulo [/ matemática] BAD es [matemática] \ frac {\ pi} {6} [/ matemática] radianes.

El ángulo en un semicírculo es un ángulo recto, por lo que [matemáticas] \ ángulo [/ matemáticas] ABD es [matemáticas] \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas]

y así [matemáticas] cos (ABD) = cos (\ frac {\ pi} {6}) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} = \ frac {AB} {AD} = \ frac {q} {2r} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto q = r \ sqrt {3} [/ matemáticas]

Ahora inscribimos un cuadrado del lado a dentro del triángulo equilátero:

BF es una perpendicular a GE y, por simetría, [matemática] \ angle [/ math] GBF es [matemática] \ frac {\ pi} {6} [/ matemática] y [matemática] GF = \ frac {a} { 2} [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] \ angle [/ math] CGH también es [math] \ frac {\ pi} {6} [/ math] (ángulos correspondientes, ya que BF y GH son perpendiculares a GE y, por lo tanto, paralelos).

Si CG [matemática] = x [/ matemática], [matemática] cos [/ matemática] [matemática] {(CGH)} = cos {(\ frac {\ pi} {6})} = \ frac {a} { x} [/ matemáticas]

Pero [matemáticas] cos {(\ frac {\ pi} {6})} = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ frac {a} {x} = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto x = \ frac {2a} {\ sqrt {3}} [/ matemáticas]

Del mismo modo [matemática] sin {(GBF)} = sin {(\ frac {\ pi} {6})} = \ frac {1} {2} [/ matemática]

Pero [matemáticas] \ frac {GF} {BG} = \ frac {(\ frac {a} {2})} {qx} = \ frac {a} {2 (qx)} [/ math]

[matemática] \ por lo tanto [/ matemática] [matemática] \ frac {a} {2 (qx)} [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática] y entonces

[matemática] a = qx [/ matemática], y la sustitución de [matemática] x [/ matemática] da [matemática] a = q- \ frac {2a} {\ sqrt {3}} [/ matemática] o

[matemáticas] q = a (1+ \ frac {2} {\ sqrt {3}}) [/ matemáticas]

Recordando que [math] q = r \ sqrt {3} [/ math] tenemos:

[matemáticas] r \ sqrt {3} = a (1+ \ frac {2} {\ sqrt {3}}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto a = \ frac {\ sqrt {3}} {1+ \ frac {2} {\ sqrt {3}}} r [/ matemáticas]

Multiplicar la parte superior e inferior de la fracción por [math] \ sqrt {3} [/ math] da

[matemáticas] a = \ frac {3r} {2+ \ sqrt {3}} [/ matemáticas]

Sustituyendo [matemáticas] r = 10 \ cm [/ matemáticas] da

[matemáticas] a = \ frac {3 \ veces 10} {2+ \ sqrt {3}} [/ matemáticas]

que funciona a 8.0384… cm

El área del cuadrado viene dada por [matemáticas] a ^ 2 = [/ matemáticas] 64.61709… cm [matemáticas] ^ 2 [/ matemáticas].

Dado que el radio se le dio a 2 cifras significativas (presumiblemente, dado que uno no puede decir si el cero en 10 es significativo o no), la respuesta también debe presentarse a 2 cifras significativas, lo que equivale a 65 cm [matemáticas] ^ 2 [ /matemáticas].

Answer 3

Un cuadrado del lado [math] \ sqrt3x [/ math], puede inscribirse en un triángulo equilátero del lado [math] (2+ \ sqrt3) x [/ math], y en un círculo de radio [math] r [/ math], podemos inscribir un triángulo equilátero de lado [math] \ sqrt3r [/ math].

Entonces [math] (2+ \ sqrt3) x = \ sqrt3r [/ math], y [math] x = \ frac {\ sqrt3} {2+ \ sqrt3} r = \ frac {\ sqrt3 (2- \ sqrt3) } {4-3} r = (2 \ sqrt3-3) r [/ math].

El lado del cuadrado es [matemáticas] \ sqrt3x = (6-3 \ sqrt3) r [/ matemáticas], y el área [matemáticas] A = 3x ^ 2 = (36-36 \ sqrt3 + 27) r ^ 2 = 9 (7-4 \ sqrt3) r ^ 2 [/ matemáticas].

Entonces, conectemos los valores y obtengamos: [math] A \ simeq64.62 \, \ text {cm} ^ 2 [/ math].

(Con más decimales: 64.617092752041743301193170578 )

Answer 4

①En el círculo,

considere la △ del lado b,

cos30 ° = ½b / 10 = √3 / 2

b = 10√3

② En el △,

considere la □ del lado x, la △ del lado b = x + 2y, de modo que

(i) tan60 ° = x / y = √3

y = x / √3

(ii) b = x + 2y

10√3 = x + 2 (x / √3)

■ Multiplicar t / o por √3,

10 × 3 = x (√3) + 2x

30 = x (2 + √3)

■ Multiplica ambos lados por (2 – √3),

30 (2 – √3) = x [2²– (√3) ²]

30 (2 – √3) = x [4–3] = x

x = 30 (2 – √3)

~ ③ ~

Área de □

= x²

= 30² (2 – √3) ²

= 900 (2² + 3–2 × 2√3)

= 900 (7–4√3) cm² ■

≈ 900 (7–4 × 1.732)

≈ 900 (7–6.928)

≈ 900 × 0.072

≈ 64.8cm²

Answer 5

Respuesta 64.61709274 Sq cm.

Prueba a continuación.

Con 3 ángulos del mismo tamaño, 60 grados, los triángulos ABC y AFG son similares y equiláteros. Y h = R * 1.5 = 15 cm.

Entonces, del Triángulo AFG, FG = FA … eso es ‘k’. Demasiado, la altura de Triangle AFG es ‘h – k’.

(1) Ahora el ángulo AFG es de 60 grados; Ergo ‘Sin 60 = (h – k) / k’

(2) Hacer malabarismos con eso para resolver ‘k’ ..; … ‘k = 15 / (Sin 60 + 1)’ …

(3) Entonces ‘k’, el lado del cuadrado, es 8.038475772 cm, y el cuadrado en ese es 64.61709274 Sq cm.

Respuesta 64.61709274 Sq cm.
QED

Espero que ayude