Sea f (x) una función continua de manera que el área delimitada por la curva y = f (x), el eje xy las líneas x = 0 yx = a esté dada por a ^ 2/2 + (a / 2) sin a + (pi / 2) cos a, entonces, ¿qué es f (pi / 2)?

Answer 1

No hay suficiente información para resolver el problema, porque hay infinitas funciones que podrían tener esa área. Solo un ejemplo. Digamos que f (x) es una constante. Eso significa:

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {a} {2} + \ dfrac {\ sin (a)} {2} + \ dfrac {\ pi \ cos (a)} {2a} [/ matemáticas]

Como la función es una constante, eso significa que CADA valor de la función es ese valor constante.

[matemáticas] f (\ pi / 2) = \ dfrac {a} {2} + \ dfrac {\ sin (a)} {2} + \ dfrac {\ pi \ cos (a)} {2a} [/ matemáticas ]

A esa función constante, podríamos agregar cualquier función que se integre a 0 durante ese intervalo, y también sería una solución. Haré esto:

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {a} {2} + \ dfrac {\ sin (a)} {2} + \ dfrac {\ pi \ cos (a)} {2a} + \ sin (2 \ pi x / a) [/ matemáticas]

La función que agregué es una función seno con un período de a, la integración de esa función seno durante todo el período da un resultado de 0 siempre que [matemática] 1 \ le \ frac {a} {2} + \ frac {\ sin (a)} {2} + \ frac {\ pi \ cos (a)} {2a} [/ math], por lo tanto, esto también tiene esa misma área.

[matemáticas] f (\ pi / 2) = \ dfrac {a} {2} + \ dfrac {\ pi \ sin (a) \ cos (a)} {4} + \ sin (\ pi ^ 2 / a) [/matemáticas]

Si escalamos esa función seno por otro escalar, llamémoslo b:

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {a} {2} + \ dfrac {\ sin (a)} {2} + \ dfrac {\ pi \ cos (a)} {2a} + b \ sin (2 \ pi x / a) [/ matemáticas]

Nuevamente, esa función seno se integrará a 0 siempre que [math] b \ le \ frac {a} {2} + \ dfrac {\ sin (a)} {2} + \ dfrac {\ pi \ cos (a)} {2a} [/ math], dándonos una solución de:

[matemáticas] f (\ pi / 2) = \ dfrac {a} {2} + \ dfrac {\ sin (a)} {2} + \ dfrac {\ pi \ cos (a)} {2a} + b \ sin (\ pi ^ 2 / a) [/ math]

Hay muchas más respuestas posibles, solo quería enumerar algunas para ilustrar que hay infinitas posibles, lo que he demostrado ser cierto porque hay infinitos escalares posibles de b. Hay otras formas de funciones que también satisfarían las condiciones de este problema, porque hay otras funciones que pueden integrarse a 0 de 0 a a, pero espero que esto sea suficiente para demostrárselo.

Editar: de alguna manera pasé por alto el segundo signo más en la pregunta, actualicé mis ecuaciones para mayor precisión.