¿Existen dos números, digamos [math] x [/ math] y [math] a [/ math], de modo que [math] \ sqrt {x – a} [/ math] es igual a [math] \ sqrt { x} – a [/ matemáticas]?

Answer 1

Cuadra ambos lados para dar

[matemáticas] xa = x + a ^ 2 – 2 a \ sqrt {x} [/ matemáticas]

Reorganizar un poco

[matemáticas] a ^ 2 + a = 2a \ sqrt {x} [/ matemáticas]

Entonces, una solución está en [matemática] a = 0. [/ matemática] Para [matemática] a \ neq 0 [/ matemática], divida entre [matemática] a [/ matemática] y cuadre ambos lados nuevamente

[matemáticas] 1 + a ^ 2 + 2a = 4x [/ matemáticas]

Entonces, las soluciones son [matemática] a = 0 [/ matemática] o cualquier [matemática] x [/ matemática] y [matemática] a [/ matemática] de modo que la ecuación anterior esté satisfecha con [matemática] x \ ge 0 [/ matemática] y [matemática] a \ ge -1 [/ matemática] [matemática] [/ matemática] (este punto se puede encontrar a partir del mínimo de la ecuación cuadrática en [matemática] a [/ matemática]; el caso con [matemática] ] a <-1 [/ math] resuelve la ecuación [math] a ^ 2 + a = -2a \ sqrt {x} [/ math]).

Answer 2

Otros han derivado esto: si [math] \ sqrt {xa} = \ sqrt {x} -a [/ math] (y [math] a \ neq 0 [/ math]) entonces

[matemáticas] 4x = (a + 1) ^ 2 [/ matemáticas].

Pero la implicación no va para otro lado, [matemática] x [/ matemática] y [matemática] a [/ matemática] satisfactoria [matemática] 4x = (a + 1) ^ 2 [/ matemática]

Es posible que no resuelva el enunciado del problema. Entonces, para completar el análisis, tomemos [math] x [/ math] y [math] a [/ math] para lo cual:

[matemáticas] 4x = (a + 1) ^ 2 [/ matemáticas]

y, en aras de la precisión, asumiremos que [math] x [/ math] y [math] a [/ math] son ​​números reales (no complejos, por ejemplo). Veremos qué restricciones adicionales puede haber en [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] a [/ matemáticas] para satisfacer la ecuación original.

Con estos valores de [math] x [/ math] y [math] a [/ math] ¿qué es [math] \ textrm {LHS} = \ sqrt {xa} [/ math]?

Sustituyendo en nuestra expresión [math] x [/ math] resulta ser [math] \ pm \ frac {(a-1)} {2} [/ math], y tenemos que elegir el signo para hacerlo positivo (porque [math] \ sqrt {x} [/ math] significa la raíz cuadrada positiva de [math] x [/ math]).

Y luego [math] \ textrm {RHS} = \ sqrt {x} – a [/ math] que “reduce” a [math] \ pm \ frac {(a + 1)} {2} – a [/ math] , donde, nuevamente, y por las mismas razones, se elige el signo para que el término ([matemática] a + 1 [/ matemática]) sea positivo.

Estos son casi iguales, siempre que los signos se elijan correctamente, y esto, a su vez, depende del valor de [math] a [/ math].

Quiero verificar sistemáticamente los casos, así que quiero saber qué valores de [matemática] a [/ matemática] cambian las opciones de más o menos. La expresión LHS cambia cuando [math] a = 1 [/ math], y la RHS cambia cuando [math] a = -1 [/ math]. Entonces consideramos estos casos:

• [matemáticas] a <-1 [/ matemáticas]:

nos vemos obligados a elegir el signo negativo en ambos lugares, y así

[matemáticas] \ textrm {LHS} = \ frac {(1-a)} {2} \ neq – \ frac {3a} {2} – 1 = \ textrm {RHS} [/ math]. No hay soluciones aquí.

• [matemáticas] a = -1 [/ matemáticas]:

vemos [matemáticas] \ textrm {LHS} = \ textrm {RHS} = 1 [/ matemáticas]. ¡Una solución!

• [matemáticas] -1

entonces: [matemática] \ textrm {LHS} = – \ frac {(a-1)} {2} = \ frac {(a + 1)} {2} – a = \ textrm {RHS} [/ math]. Muchas soluciones!

• [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas]:

tenemos [math] \ textrm {LHS} = 0 = 1-1 = \ textrm {RHS} [/ math]. ¡Otra solución!

• [matemáticas] 1

y, finalmente, [math] \ textrm {LHS} = \ frac {(a-1)} {2} \ neq \ frac {(1-a)} {2} = \ textrm {RHS} [/ math]. No mas soluciones.

Así que terminamos con [math] \ sqrt {xa} = \ sqrt {x} -a [/ math] si (y solo si) al menos uno de los siguientes es verdadero:

• [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x \ geq 0 [/ matemáticas], o
• [matemáticas] -1 \ leq a \ leq 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ frac {(a + 1) ^ 2} {4} [/ matemáticas].

Y eso, creo, es eso.

Answer 3

Bueno, una respuesta obvia es [matemáticas] x = x [/ matemáticas] y [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas]. ¿Pero es esta la única solución? Aparentemente no.

[matemáticas] a \ in (-1, 1) [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ frac {1} {4} \ veces (a ^ 2 + 2a + 1) [/ matemáticas].

Answer 4

Necesitamos dos números que satisfagan esta ecuación:

[matemáticas] \ sqrt {x – a} = \ sqrt {x} – a [/ matemáticas]

Cuadrado a ambos lados:

[matemáticas] x – a = x + a ^ 2 – 2a \ sqrt {x} [/ matemáticas]

Resta [math] x [/ math] de ambos lados:

[matemáticas] -a = a ^ 2 – 2a \ sqrt {x} [/ matemáticas]

Divide ambos lados entre [matemáticas] a [/ matemáticas]:

[matemáticas] -1 = a – 2 \ sqrt {x} [/ matemáticas]

Resuelva para [matemáticas] a [/ matemáticas]:

[matemáticas] a = 2 \ sqrt {x} – 1 [/ matemáticas]

Existe un número infinito de pares [math] (x, a) [/ math] que satisfacen esta ecuación. [matemática] (0, -1) [/ matemática] y [matemática] (0.25, 0) [/ matemática] son ​​dos fáciles de ver. Aquí hay una gráfica de todos los pares posibles (porque una gráfica vale cien números):

Answer 5

Como solo preguntó si existen tales números, la respuesta es sí, los hay. Establezca [matemáticas] x = a = 1 [/ matemáticas].

Answer 6

Por inspección casual, cuando [matemática] a = 0 [/ matemática], la ecuación es verdadera para cualquier [matemática] x [/ matemática]. Ahora verifiquemos [math] a \ neq 0 [/ math].

Al tratar con raíces cuadradas, cuadre ambos lados (y anótelo, ya que puede haber soluciones negativas y positivas).

[matemáticas] (xa) = x – 2a \ sqrt {x} + a ^ 2 [/ matemáticas]

Mover todos los [math] x [/ math] ‘s a un lado y [math] a [/ math]’ s al otro lado ([math] a \ neq 0 [/ math], para que podamos dividir por [matemáticas] a [/ matemáticas]):

[matemáticas] -a = – 2a \ sqrt {x} + a ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a = 2a \ sqrt {x} -a ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + a = 2a \ sqrt {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {a ^ 2 + a} {a} = 2 \ sqrt {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + 1) = 2 \ sqrt {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] 4x = (a + 1) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {1} {4} (a + 1) ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, para cualquier valor de [math] a [/ math], hay un valor [math] x [/ math] y se puede encontrar fácilmente sumando 1, cuadrando y dividiendo entre 4, y si [math] a = 0 [/ math], entonces cualquier valor de [math] x [/ math] funcionará.

Verificar, checar, comprobar:

[matemáticas] \ sqrt {\ frac {1} {4} (a + 1) ^ 2-a} = \ sqrt {\ frac {1} {4} (a + 1) ^ 2} -a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {(a + 1) ^ 2-4a} = \ sqrt {(a + 1) ^ 2} -2a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {(a + 1) ^ 2-4a} = (a + 1) -2a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {(a + 1) ^ 2-4a} = 1-a [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + 1) ^ 2-4a = 1-2a + a ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + 2a + 1-4a = 1-2a + a ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2-2a + 1 = 1-2a + a ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 7

∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵έχει | ξεκινήσει∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵

Bueno, podemos resolver esto como una ecuación:

sqrt (xa) = sqrt (x) – a

xa = x + a ^ 2 – 2asqrt (x)

2asqrt (x) = a ^ 2 + a

2sqrt (x) = a + 1

sqrt (x) = (a + 1) / 2

x = (a + 1) ^ 2/4, x> = a, x> = 0

Entonces, hay infinitos pares de números tales como sqrt (xa) = sqrt (x) – a.

Si queremos verificar nuestro trabajo, conectemos x pack en cada expresión.

sqrt ((a + 1) ^ 2/4 – a) = sqrt ((a ^ 2–2a + 1) / 4) = (a-1) / 2

sqrt ((a + 1) ^ 2/4) – a = (a + 1) / 2 – a = (1-a) / 2

Pero espera, no son exactamente lo mismo. ¿Qué podría significar esto?

Significa que estas son soluciones extrañas.

Muchos problemas relacionados con la cuadratura de ambos lados pueden tener este efecto porque un cuadrado siempre es positivo. Por ejemplo, podemos tener la ecuación:

x = -x

La cuadratura nos da:

x ^ 2 = x ^ 2 -> x = x.

Pero solo para x = 0.

Siempre tenga cuidado con las soluciones extrañas, ya que pueden dañar toda su prueba. Sin embargo, dado que pregunta si existen dos números (x, a), sí.

Para encontrarlos, podemos ser inteligentes y utilizar el hecho de que estamos cuadrando dos números (o expresiones). Como ya hemos declarado que al conectar las ecuaciones se obtiene (a-1) / 2 = (1-a) / 2, podemos resolver esta ecuación.

(a-1) / 2 = (1-a) / 2

a-1 = 1-a

2a = 2

a = 1 -> x = 1.

Espero que esto ayude.

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Answer 8

Claro, cuando [math] x [/ math] y [math] a [/ math] son ​​0.

Answer 9

a = 0 satisface trivialmente para todos x

Answer 10

Deje x = 4 y deje a = 0 para empezar:

(4-0) ^ (1/2) = 4 ^ (1/2) – 0

2 = 2 – 0 = 2

-2 = -2 – 0 = -2