¿Cuál es la diferencia entre el inverso de una función [matemática] f (x) [/ matemática] y el recíproco de esta misma función [matemática] f (x) [/ matemática]?

Answer 1

Suponga que el dominio de [math] f [/ math] es [math] D [/ math] y el rango es [math] f (D) [/ math].

Recíproco : una función [matemática] g [/ matemática] satisfactoria

[matemáticas] g (x) = \ dfrac {1} {f (x)}, \ forall x \ in D, f (x) \ not = 0 [/ math].

Esto significa que para cada [matemática] x [/ matemática], el nuevo valor de función [matemática] g (x) [/ matemática] es el recíproco aritmético de [matemática] f (x) [/ matemática].

Inversa : una función [matemática] h [/ matemática] satisfactoria

[matemática] h (f (x)) = (h \ circ f) (x) = x, \ para toda x \ en D. [/ matemática]

Esto significa para cada [matemática] x \ en D [/ matemática], si [matemática] y = f (x) [/ matemática], entonces [matemática] h (y) = x [/ matemática].

Tenga en cuenta que cuando use el operador de composición [math] \ circ [/ math] en la función recíproca,

[matemáticas] (g \ circ f) (x) = g (f (x)) = g (z) = \ dfrac {1} {f (z)} = \ dfrac {1} {f (f (x) )},[/matemáticas]

donde [matemáticas] z = f (x) \ en D [/ matemáticas] y [matemáticas]

Answer 2

Esta es una respuesta bastante “suelta” que no obtiene tanta precisión como otra respuesta, pero aquí está mi mejor comprensión.

La inversa de una función ([matemática] f (x) [/ matemática]) es aquella que se considera como [matemática] g (x) [/ matemática] tal que

[matemáticas] g (x) = f (y) [/ matemáticas]

Nota: Esta función debe ser biyectiva para tener un inverso (inyectivo y sobreyectivo)

El recíproco de una función ([matemática] f (x) [/ matemática]) se considera como [matemática] h (x) [/ matemática] tal que

[matemáticas] h (x) = \ frac {1} {f (x)} [/ matemáticas]

Hasta donde yo sé, no hay restricción en este tipo de función.

Digamos que teníamos [matemáticas] f (x) = x ^ 2 [/ matemáticas]. Su recíproco es [matemáticas] h (x) = [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {1} {x ^ 2} [/ matemáticas].

Sin embargo, no existe una inversa “verdadera” a esta función ya que [math] x ^ 2 [/ math] no es inyectiva:

[matemáticas] f (3) = f (-3) [/ matemáticas], pero 3 [matemáticas] \ ne [/ matemáticas] -3.

Sin embargo, se puede argumentar sobre el dominio de [0, [math] \ infty) [/ math], el inverso de [math] f (x) = [/ math] [math] x ^ 2 [/ math] es [matemáticas] g (x) = \ sqrt {x} [/ matemáticas].

Como una declaración más verdadera, podemos decir una función [matemáticas] f (x) = x ^ 3 + 1 [/ matemáticas],

Su recíproco es [matemáticas] h (x) = \ dfrac {1} {x ^ 3 + 1} [/ matemáticas]

Y como [math] f (x) [/ math] es una biyección, tiene un inverso de [math] g (x) = (x-1) ^ {\ frac {1} {3}} [/ math].

Answer 3

Garfield Jiang tiene la respuesta correcta. Quizás un ejemplo ayude.

Si f (x) = x ^ 2, su recíproco es la función 1 / x ^ 2, definida para todo x no 0.

La inversa de f (x) es la función que “deshace” o “invierte” f (x). Ese sería el sqrt (x). Para deshacer la cuadratura, tomas la raíz cuadrada.