¿Qué es y en términos de x si [matemáticas] y = x ^ {y-1} [/ matemáticas]?

Answer 1

Para esto, utilizaremos la función Lambert W, que a menudo es útil cuando tiene una variable que aparece como base y como exponente. La función Lambert W tiene la propiedad de que [math] x = \ mathrm {W} (xe ^ {x}) [/ math]. En términos más generales, si sustituimos [math] x [/ math], obtenemos [math] f (x) = \ mathrm {W} (f (x) e ^ {f (x)}) [/ math] . Nuestra estrategia aquí, entonces, será mover todas las [matemáticas] y [/ matemáticas] a un lado de la ecuación, manipularlas en la forma [matemáticas] f (y) e ^ {f (y)} [/ matemática] para alguna función [matemática] f [/ matemática], luego aplique la función W a ambos lados y resuelva para [matemática] y [/ matemática].

[matemáticas] y = x ^ {y-1} [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow y = \ frac {x ^ {y}} {x} [/ math]

[math] \ Rightarrow yx ^ {- y} = \ frac {1} {x} [/ math]

Ahora cambiemos esa exponencial a base e.

[matemática] \ Rightarrow ye ^ {\ ln {x ^ {- y}}} = \ frac {1} {x} [/ math]

[matemática] \ Rightarrow ye ^ {- y \ ln {x}} = \ frac {1} {x} [/ math]

Ahora manipulemos el lado izquierdo en un formulario al que podamos aplicar la función W.

[math] \ Rightarrow -y \ ln {x} e ^ {- y \ ln {x}} = – \ frac {\ ln {x}} {x} [/ math]

Ahora podemos aplicar la función W.

[math] \ Rightarrow \ mathrm {W} (- y \ ln {x} e ^ {- y \ ln {x}}) = \ mathrm {W} (- \ frac {\ ln {x}} {x} )[/matemáticas]

[math] \ Rightarrow -y \ ln {x} = \ mathrm {W} (- \ frac {\ ln {x}} {x}) [/ math]

Finalmente, resolvemos para [math] y [/ math].

[matemática] \ por lo tanto y = – \ frac {\ mathrm {W} (- \ frac {\ ln {x}} {x})} {\ ln {x}} [/ math]

Tenga en cuenta que la función Lambert W es multivalor, por lo que puede haber más de un valor para [math] y [/ math] para una [math] x [/ math] dada. Por ejemplo, en [matemática] x = 2 [/ matemática], tanto [matemática] y = 1 [/ matemática] como [matemática] y = 2 [/ matemática] satisfacen la ecuación.

Answer 2

[matemáticas] y = x ^ {y-1} \ implica x = \ sqrt [y-1] {y} [/ matemáticas]

Y desde [math] \ sqrt [\ psi] {\ Xi} = \ Xi ^ {1 / \ psi} [/ math]

y [matemáticas] \ alpha ^ {- \ beta} = \ frac {1} {\ alpha ^ {\ beta}} [/ matemáticas]

[matemática] y [/ matemática] puede tener cualquier valor excepto [matemática] 1 [/ matemática] pero que cualquier [matemática] x [/ matemática] excepto [matemática] 0 [/ matemática] sería una solución para [matemática] y = x ^ {y-1} [/ math], porque se convierte en [math] 1 = x ^ 0 [/ math], que es una afirmación verdadera para todos los reales (e incluso complejos) [math] x \ ne 0 [/ matemáticas].

Editar: quería [math] y [/ math], resolví para [math] x [/ math], y ya mencioné el reverso de [math] \ sqrt [y-1] {y} [/ math] dar [math] y [/ math] pero esa es una función complicada ya que este gadget lo calcula [math] – \ frac {\ operatorname {W} (- log (x))} {log (x)} [/ math]

con algo de cable W (x).

Answer 3

㏑y = (y-1) ㏑x = y㏑x-㏑x

exprese ㏑y como una serie polinómica aproximada, obtenga una ecuación polinómica en y, luego resuelva para y …

Answer 4

Aprender con amigos: lecciones gratuitas de inglés y matemáticas

Answer 5

Un primer paso (que puede o no ser útil) es tomar registros naturales. Entonces:

ln (y) = (y-1) ln (x)

Entonces podemos aislar y dividiendo por y-1:

ln (x) = ln (y) / (y-1)

Podemos recuperar x exponiendo:

x = exp [ln (y) / (y-1)] = y ^ [1 / (y-1)]

Inversa x [f (y)] es igual a y tal que f (y) es igual a x. Entonces:

y = inverso x {y ^ [1 / (y-1)]}

Answer 6

y = x ^ y-1

tomando registro en ambos lados

logy = (y-1) logx

logx = (1 / y-1) logy

logx = (logy) ^ 1 / a-1

x = y ^ 1 / y-1