¿Es [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 [/ matemáticas] lo mismo que [matemáticas] (a + b) ^ 3 [/ matemáticas]? Si no, ¿por qué? ¿Cómo se diferencian estos dos?

Answer 1

Cuando aprenda a trabajar con binomios, aprenderá que la multiplicación funciona así:

[matemáticas] (a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d) [/ matemáticas]: Ley distributiva

[matemática] ac + ad + bc + bd [/ matemática]: Ley distributiva nuevamente

Entonces, si [matemática] c = a [/ matemática] y [matemática] d = b [/ matemática] entonces:

[matemáticas] (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + ab + ab + b ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, puedes ver que si tuviste [matemáticas] (a + b) ^ 3 [/ matemáticas], obtienes:

[matemáticas] (a + b) (a + b) ^ 2 [/ matemáticas]: Definición de un exponente entero positivo (deconstrucción)

[matemáticas] a (a + b) ^ 2 + b (a + b) ^ 2 [/ matemáticas]: Ley distributiva

[matemáticas] a (a + b) (a + b) + b (a + b) (a + b) [/ matemáticas]: Deconstruir otro exponente

[matemática] a ^ 2 (a + b) + ab (a + b) + ba (a + b) + b ^ 2 (a + b) [/ matemática]: Ley distributiva nuevamente

[matemáticas] a ^ 3 + a ^ 2 b + a ^ 2 b + ab ^ 2 + a ^ 2 b + ab ^ 2 + ab ^ 2 + ab ^ 2 [/ matemáticas]: aplicación final de la ley distributiva

Luego, recopilamos los términos:

[matemáticas] a ^ 3 + 3 a ^ 2 b + 3 ab ^ 2 + b ^ 3 [/ matemáticas]

Eso es mucho trabajo, pero comenzarás a ver un patrón. Si aprendiste sobre el Triángulo de Pascal, encontrarás que esta es la fila 4.

Comparemos:

[matemática] (a + b) ^ 0 = 1 [/ matemática]: Suponiendo que [matemática] a + b \ neq 0 [/ matemática], esto corresponde a la 1ra fila.

[matemática] (a + b) ^ 1 = a + b [/ matemática]: Observe que puede ver esto como si a se multiplicara por 1, y b también se multiplicara por 1. Esto corresponde a la segunda fila.

[matemáticas] (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 [/ matemáticas]: Esto corresponde a la fila 3.

[matemáticas] (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2 b + 3a b ^ 2 + b ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + b) ^ 4 = a ^ 4 + 4a ^ 3 b + 6a ^ 2 b ^ 2 + 4 ab ^ 3 + b ^ 4 [/ matemáticas]

y así.

Answer 2

¿Es a ^ 3 + b ^ 3 lo mismo que (a + b) ^ 3? Si no, ¿por qué? ¿Cómo se diferencian estos dos?

Para ver que estos son diferentes, simplemente sustituya el número por [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas]. Por ejemplo, let [math] a = b = 1 [/ math].

Expanda la segunda expresión [matemáticas] (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 [/ matemáticas]. La primera expresión omite los dos términos del medio. Además, un poco más difícil, factoriza la primera expresión: [matemáticas] (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) [/ matemáticas]. El segundo factor no es [matemática] (a + b) ^ 2 [/ matemática], intente expandir eso.

Answer 3

es a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ^ 3?

En primer lugar, debe expandir [math] (a + b) ^ 3 [/ math]:

[matemáticas] (a + b) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (a + b) (a + b) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (a + b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (a ^ 3 + 2a ^ 2b + ab ^ 2 + a ^ 2b + 2ab ^ 2 + b ^ 3) [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 [/ matemáticas]

Desde aquí, puede ver que los componentes de la expansión [matemática] (a + b) ^ 3 [/ matemática] dan como resultado componentes adicionales de [matemática] 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 [/ matemática], donde a & b es no es igual a 0.

Por lo tanto, [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 [/ matemáticas] no es igual a [matemáticas] (a + b) ^ 3 [/ matemáticas].

Y, la 2da parte;

¿Cómo se diferencian estos dos?

Si [math] a ^ 3 + b ^ 3 [/ math] se convierte a la forma [math] (x + y) ^ z + c [/ math],

[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (a + b) ^ 3-3a ^ 2b-3ab ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (a + b) ^ 3-3ab (a + b) [/ matemáticas]

Si el término permanece en forma [matemática] (a + b) ^ 3-3ab (a + b) [/ matemática], todo será más difícil de entender ya que es más complicado.

Por lo tanto, la forma más simple del término es [matemática] a ^ 3 + b ^ 3 [/ matemática].

Y debe tener términos completos de [matemáticas] a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 [/ matemáticas] para factorizar en [matemáticas] (a + b) ^ 2 [/ matemáticas], sin tener que agregar una [matemática] c [/ matemática] adicional al término.

Answer 4

Estamos hablando de leyes básicas de exponentes aquí. Al menos intente asignar valores a [math] a [/ math] y [math] b [/ math] y compare el resultado de la primera expresión con el de la otra.

Ok, lo haré por ti:

let [matemáticas] a = 2 [/ matemáticas] [matemáticas] b = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 ^ 3 + 3 ^ 3 = 8 + 27 = 35 [/ matemáticas]
[matemáticas] (2 + 3) ^ 3 = 5 ^ 3 = 125 [/ matemáticas]

Recomiendo aprender sobre leyes de exponentes. Memorícelos a medida que avanza en su curso de álgebra.

Answer 5

Deje a = b = la longitud del lado de un terrón de azúcar

[matemáticas] a ^ 3 [/ matemáticas] es el volumen de un cubo de azúcar

[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 [/ matemáticas] es el volumen de dos cubos de azúcar

¿Qué es [matemáticas] (a + b) ^ 3 [/ matemáticas]?

Es el volumen de un cubo con un lado del doble de la longitud de un cubo normal.

Compruébalo, necesitarás 8 cubos para hacer un cubo de doble cara.

Ese es un ejemplo que muestra por qué estas dos expresiones no son lo mismo.

Answer 6

No.

En el orden de las operaciones, los exponentes van antes de la suma, por lo que reescribir la expresión de esta manera cambia efectivamente la respuesta final.

Por ejemplo, use 1 para ay 3 para b. Desde la primera expresión, su respuesta será 28, mientras que la segunda le dará 64.

Las expresiones anteriores ya están en su forma factorizada.

Answer 7

Hola,

a ^ 3 + b ^ 3 no es lo mismo que (a + b) ^ 3

(a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3.a ^ 2.b + 3.ab ^ 2 + b ^ 3

La forma factorizada de a ^ 3 + b ^ 3 es:

(a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) se llama fórmula de suma de cubos

Puede verificar esto conectando el truco (reemplazando cada variable por un número real y luego calculando)

Answer 8

No

[matemáticas] (a + b) ^ {3} = a ^ {3} + 3a ^ {2} b + 3ab ^ {2} + b ^ {3} [/ matemáticas], que no es lo mismo que [ matemáticas] a ^ {3} + b ^ {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ {3} + b ^ {3} [/ matemáticas] se puede factorizar como [matemáticas] (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2}) [/ matemáticas], mientras que [math] (a + b) ^ {3} [/ math] ya está factorizado.

Answer 9

No son lo mismo.

Para probarlo, pruébalo con algunos números reales. Como en el caso de [matemáticas] a = 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 ^ 3 + 3 ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 64 + 27 [/ matemáticas]

[matemáticas] 91 [/ matemáticas]

vs

[matemáticas] (a + b) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] (4 + 3) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 7 ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 343 [/ matemáticas]

Answer 10

(a ^ 3) + (b ^ 3) ≠ (a + b) ^ 3

Ya que,

(a + b) ^ 3 = (a ^ 3) +3 (a ^ 2) b + 3a (b ^ 2) + (b ^ 3)

Juguemos con esta ecuación.

(a + b) ^ 3 = (a ^ 3) + (b ^ 3) +3 (a ^ 2) b + 3a (b ^ 2)

Deje 3 (a ^ 2) b + 3a (b ^ 2) = j

Luego ,

(a ^ 3) + (b ^ 3) = (a + b) ^ 3 + j (o) (a ^ 3) + (b ^ 3) -j = (a + b) ^ 3

Siempre hay una diferencia de j entre el LHS y el RHS de la ecuación.

Ahora la parte de factoring

(a ^ 3) + (b ^ 3) puede factorizarse como

Pero no se puede ampliar

Y

(a + b) ^ 3 se puede expandir como (a ^ 3) +3 (a ^ 2) b + 3a (b ^ 2) + (b ^ 3) Pero no se puede factorizar

Answer 11

1. En el primero, los “cubos” de ambos números “individuales” se suman
2. En segundo lugar, los números se suman y luego tienes que hacer un cubo del número obtenido

Answer 12

Ellos no son los mismos.

Si expandiéramos la expresión (a + b) ^ 3, obtendríamos a ^ 3 + 3 (a ^ 2) (b) + 3 (a) (b ^ 2) + b ^ 3. Ambos son desiguales con una discrepancia de exactamente 3 (a ^ 2) (b) + 3 (a) (b ^ 2).

A menos que sus valores ayb sean cero, no son iguales.

Answer 13

No, no son lo mismo.

Digamos que a = 2 yb = 2 por simplicidad.

a ^ 3 + b ^ 3
2 ^ 3 = 8
8 + 8 = 16

(a + b) ^ 3
(2 + 2) = 4
(4) ^ 3 = 64

La única forma en que podrían ser iguales sería si al menos una variable fuera 0. No son lo mismo debido al orden de las operaciones. Los primeros dos pasos del orden de las operaciones son los que los hacen diferentes. Primero, haces los cálculos dentro de los paréntesis. En segundo lugar, haces los exponentes.

Answer 14

Podemos ver que [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 \ neq (a + b) ^ 3 [/ matemáticas] para si [matemáticas] a = b = 1 [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] 2 = 1 ^ 3 + 1 ^ 3 \ neq (1 + 1) ^ 3 = 8 [/ matemáticas].

Factorizan de manera diferente entre polinomios en [math] \ mathbb {R} [/ math] o [math] \ mathbb {C} [/ math]:

[matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 – ab + b ^ 2) = \ frac {1} {4} (a + b) (2 a – \ sqrt {-3 } b – b) (2 a + \ sqrt {-3} b – b) [/ math]

[matemáticas] a ^ 3 + 3 a ^ 2 b + 3 ab ^ 2 + b ^ 3 = (a + b) (a + b) (a + b) \ equiv (a + b) ^ 3 [/ matemáticas]

Answer 15

Primero, el teorema binomial.

[matemáticas] (a + b) ^ {n} = \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} {k} a ^ {nk} b ^ {k} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ binom {n} {k} = \ frac {n!} {(nk)! k!} [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + b) ^ {3} = \ sum_ {k = 0} ^ {3} \ binom {3} {k} a ^ {3-k} b ^ {k} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ binom {3} {0} a ^ {3} b ^ {0} + \ binom {3} {1} a ^ {2} b ^ {1} + \ binom {3} {2} a ^ {1} b ^ {2} + \ binom {3} {3} a ^ {0} b ^ {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ {3} + 3a ^ {2} b + 3ab ^ {2} + b ^ {3} [/ matemáticas]

Ahora usando los resultados de antes

[matemáticas] a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) ^ {3} -3a ^ {2} b -3ab ^ {2} = (a + b) ^ {3} – 3ab ( a + b) [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + b) ((a + b) ^ 2-3ab) [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) [/ matemáticas]

Answer 16

No, estas expresiones no son lo mismo. Calcule el segundo multiplicando (a + b) por sí mismo una vez y luego nuevamente. Compara la respuesta con tu primera expresión. Descubrirá que son diferentes, y después de haber hecho el trabajo, verá por qué.

Otra forma de ver esto es sustituir algunos números aleatorios por a y b, como a = 2 y b = 3. Luego calcule los valores de las expresiones. Nuevamente, verás que son diferentes.

En cuanto a la pregunta sobre la factorización, que implica reducir una expresión a los términos más simples que se pueden multiplicar entre sí para producir el original, no hay más factorización que se pueda hacer con a ^ 3 + b ^ 3. En la segunda expresión, puede factorizar (a + b), pero eso en realidad no simplifica nada porque simplemente termina con (a + b) (a + b) (a + b).

Answer 17

si a = 1 entonces un cubo = 1

si b = 2. Que b al cubo = 8

1 + 8 = 9

(a + b) en cubos = 3 en cubos = 27

hay una gran diferencia en los dos

Answer 18

No, definitivamente no son lo mismo que

(a + b) ^ 3 es en realidad

(a + b) (a + b) (a + b)

Cuál es = a ^ 3 + 3a ^ 2 + 3ab ^ 2 + b ^ 3

Por lo tanto, no son lo mismo

Por ejemplo, supongamos algún valor de a y b; a = 2; b = 3

a ^ 3 + b ^ 3 = 2 ^ 3 + 3 ^ 3

= 8 + 27 = 35

Mientras que (a + b) ^ 3 = (2 + 3) ^ 3

= 5 ^ 3

= 125

Answer 19

No, porque … vivo ejemplo, así que no te confundo …

3³ + 5³ = 27 + 125 = 152

(3 + 5) ³ = 8 ³ = 512

simplemente porque la prioridad es () antes del cubo …

Answer 20

Sumando dos cubos y cubicando una suma no son lo mismo debido a MAGNITUDE.

Cuando cubes una suma, no solo cubres los números, sino también la suma de esos números.

Puede ver esto visualmente al ver los números en cubos como cubos físicos. Poner dos cubos juntos da un resultado más pequeño que cubicar el ancho y la altura de cada cubo.