Una función es un conjunto de pares ordenados. ¿Podemos considerar el conjunto vacío como una función sin dominio o rango?

Answer 1

Ese es el caso. Y tengo dos casos de matemáticas para respaldar esto.

En matemáticas, las funciones son los morfismos en la categoría Conjunto . Un objeto inicial [matemática] I [/ matemática] de una categoría es un objeto tal que hay exactamente un morfismo [matemático] I \ a X [/ matemático] para cualquier objeto [matemático] X [/ matemático]. El conjunto vacío es el objeto inicial de la categoría Conjunto .

Luego, en geometría diferencial y topología algebraica, existe la operación de límite en cadenas. Esencialmente, las cadenas son combinaciones lineales formales de mapas desde [matemática] [0,1] ^ n [/ matemática] en algún espacio, y la operación de límite reemplaza cada mapa con una suma de mapas restringidos a los lados del límite de [matemática] n [/ math] -cube. Para [matemática] n = 0 [/ matemática], el operador de límite lleva un cubo 0 al número 1 (este es el coeficiente en la combinación lineal del mapa único del conjunto vacío).

Answer 2

Sí, tienes razón, con una advertencia.

Una función no es simplemente un conjunto de pares ordenados. Una función se define en términos de dos conjuntos, un dominio D y un codominio C. El dominio enumera todos los valores a los que se aplica la función, y el codominio enumera todos los valores que la función puede tomar cuando se aplica a cualquier elemento del dominio. El rango es el conjunto de todos los valores que realmente logra la función cuando se aplica a los diversos elementos del dominio. Un elemento del rango no se puede lograr realmente (en el rango) si no se permite asumirlo (es decir, no en el codominio). Por lo tanto, el rango es un subconjunto del codominio. Ahora, una función con dominio D y codominio C es un conjunto de pares ordenados con el primer elemento tomado de D y el segundo elemento tomado de C , de modo que para cada elemento de D hay exactamente un par ordenado cuyo primer componente es ese elemento. Para un dominio finito, el conjunto de pares ordenados en la definición de la función también debe ser finito, con la misma cardinalidad (conteo) que el dominio. Cuando el dominio es el conjunto vacío, el dominio tiene cardinalidad 0 (sin elementos), por lo que hay 0 pares ordenados en la función. Si un conjunto de pares ordenados tiene 0 pares ordenados, entonces el conjunto está vacío. Por lo tanto, un dominio vacío siempre conduce a una función vacía. La función vacía es tan válida como cualquier función no vacía.

Si tiene un dominio finito D con elementos d y un codominio finito C con elementos c , entonces hay [math] c ^ d [/ math] funciones distintas que se pueden construir. Cuando d = 0, siempre habrá una función posible, a saber, la función vacía, que coincide con la expectativa de que [matemática] c ^ 0 = 1 [/ matemática]. Esto es válido incluso cuando c = 0 y, por lo tanto, un ejemplo de la utilidad de la definición [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática].

Answer 3

Una función es más que un conjunto de pares ordenados.

Si está pensando, como siempre, que el segundo par es una función del primero, como es habitual, entonces si hay dos pares con la misma primera ordenada, pero con una segunda ordenada diferente, entonces esto no describe una función.